f : R² --> R, f(x,y):= (sin |xy| )/x für x≠0 und f(0,y):= 0. stetig \ unstetig in den Punkten [ .... ]
Die Aufgabe ist:
$$ f:{ R }^{ 2 } \rightarrow R\\ \\ f(x,y):= { \begin{pmatrix} \frac { sin|xy| }{ x } ,\quad falls\quad x\neq 0 \\ \quad \quad \quad y\quad \quad \quad , falls \quad x = 0 \end{pmatrix}} $$
Zeigen Sie, dass f :
(1) in den Punkten t(a,b) mit a≠ 0 stetig ist
(2) in den Punkten t(0,b) b ≠ 0 unstetig ist
(3) stetig oder unstetig im Punkt t(0,0) ?
(1) war es das schon hier weiß ich überhaupt nicht weiter?
$$ \frac { sin|xy| }{ x } \quad ,\quad x \neq 0\quad ,\quad ist\quad als\quad Verkettung\quad stetiger\quad Funktionen\quad stetig.\\ \\ ?\\ $$
(2)
$$ { lim \quad x }_{ n }{ \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } 0 }\\ \\ lim \quad y_{ n }{ \quad \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } b ,\quad b \neq 0 }\\ \\ \\ f({ x }_{ n }{ , y }_{ n }) = \frac { sin|{ x }_{ n }{ y }_{ n }| }{ { x }_{ n } } \overset { }{ \longrightarrow } 1 \quad \neq \quad f(0 , b) = b $$
(3)
$$ { lim\quad x }_{ n }{ \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } \quad 0 }\\ \\ lim\quad y_{ n }{ \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } \quad 0 }\\ \\ f({ x }_{ n }{ , y }_{ n })= \frac { sin|{ x }_{ n }{ y }_{ n }| }{ { x }_{ n } } \overset { }{ \longrightarrow } 1\quad \neq \quad f(0, 0) = 0 $$
