Könnte mir bitte einer Helfen bei dem Thema Wurzelgleichungen ?

0 Daumen
431 Aufrufe
Also ich geh jetzt in die neunte Klasse . Und wir haben grad das Thema Wurzelgleichungen und mein Lehrer erklärt es mir nicht so das ich es verstehen kann und niemand anderes aus der Klasse versteht es . Könnte mir bitte Jemand helfen ?

Und dann sollen wir noch ausklammern und dann kommen noch die binomischen Formeln dazu ich bin total überfordert !!
Gefragt 5 Sep 2012 von Gast hj2155
Könntest du vielleicht mal ein Beispiel schreiben?
Ich kann mir unter Wurzelgleichungen momentan nichts vorstellen...

Aber an sich löst man sie genau wie jede andere Gleichung auch: durch äuqivalente Umformungen, die den Wert der Gleichung nicht verändern, bzw. höchstens erweitern, sodass am Ende durch eine Probe die gefundenen Lösungen auf Richtigkeit überprüft werden können.

Ein paar Videos zu deinen Problemen, klick auf die Links:

1. Distributivgesetz (Ausklammern)

2. Binomische Formeln

3. Wurzeln und Wurzelgleichungen

Einfach ansehen und einfach verstehen!

2 Antworten

0 Daumen

Ah, ich habe jetzt mal bei Wikipedia nachgeguckt, da ist folgendes Beispiel aufgeführt:

 

Zunächst quadrierst du beide Seiten der Gleichung einmal! (Das bedeutet, dass am Ende eine Probe durchgeführt werden muss, um mögliche überflüssige Lösungen zu eliminieren.)

8-2x = (1+√(5-x))2

Hier brauchst du tatsächlich die binomischen Formeln. Diese musst du dir entweder jedes mal erneut ausrechnen - oder einfach auswendig lernen.

Sie lauten:
1. (a+b)2 = a2+2ab+b2

2. (a-b)2 = a2-2ab+b2

3. (a+b)*(a-b) = a2-b2

Hier brauchst du die 1. Formel, mit a=1 und b=√(5-x).

Die Gleichung lautet jetzt also:

8-2x = 12+2*1*√(5-x) + √(5-x)2

8-2x = 1 + 2*√(5-x) + 5 - x


Jetzt musst du alle Terme, die keine Wurzel mehr beinhalten auf die linke Seite bringen - sonst wird die Wurzel beim nächsten Quadrieren wieder vorkommen!

8-2x = 6-x + 2*√(5-x) |-6

2-2x = -x + 2*√(5-x) |+x

2-x = 2*√(5-x)

Jetzt quadrierst du wieder beide Seiten der Gleichung!

(2-x)2 = 4*(5-x)

Links dieses mal die 2. binomische Formel:

4 - 4x + x2 = 20-4x |+4x

4+x2 = 20 |-4

x2 = 16

Mögliche Lösungen sind nun also

x1=4

x2=-4

Jetzt muss wie gesagt noch kontrolliert werden, ob die Lösungen die Anfangsgleichung erfüllen.

Setzt man x1=4 ein, so folgt:

√(8 - 2*(4)) = 1 + √(5-4)
0 = 1 + 1 = 2, falsch!
x1=4 ist also keine Lösung.

 

√(8-2*(-4)) = 1+√(5-(-4))

√(8+8) = 1+√9

√16 = 1+3

4 = 4, wahr!

x2=-4 ist also die einzige Lösung der Gleichung.

 

Wichtig sind also die folgenden Punkte:
- binomische Formeln beherrschen!
- Gleichung solange quadrieren und umstellen, bis nur noch auf einer Seite ein einziger Wurzelterm vorkommt

Beantwortet 5 Sep 2012 von Julian Mi Experte X
0 Daumen

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte unter einem oder unter mehreren Wurzelzeichen vorkommt. Ansonsten ist es völlig egal, wie die Gleichung aussieht. D.h. es kann sich um eine 'beliebig komplizierte' Gleichung handeln. 

Wichtig ist beim Lösen erst Mal, dass man das oder die Wurzelzeichen wegbringt

Danach rechnet man wie bisher mit einer Gleichung bis man x bestimmt hat: Für dich in der Neunten Klasse heisst das Ziel dieser Umformungen entweder '' auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht nur noch x und auf der andern ein Term aus Zahlen ohne x." oder "auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht 0 und auf der andern kommen noch Summanden mit x2  , x und ev. eine Zahl vor". Im ersten Fall ist man fast fertig. Im zweiten Fall ist man nach der Verwendung der Formel für quadratische Gleichungen fast fertig.

Es gibt viele Wurzelgleichungen, die gar niemand auflösen kann. Es kann sein, dass sie keine Lösung haben oder, dass sie nur numerische Näherungsverfahren eine Lösung bestimmen können. Wundere dich nicht, wenn du eine Gleichung nicht lösen kannst.

Ich hoffe aber, dass du zum Üben doch ein paar Aufgaben hast, die man lösen kann.

und zeige dir an einem Beispiel mit einem einzigen Wurzelzeichen, wie du die Wurzel wegbringst.

Du muss sie isolieren und dann linst und rechts quadrieren.

Als Voraussetzung brauche ich, dass du verstehst, dass es in den reellen Zahlen nur Wurzeln aus positiven Zahlen oder 0 gibt und das Resultat immer positiv oder 0 ist. Es gilt z.B. √9  = 3.   nie √9  = -3.

Zudem gilt (√9)2 =32= 9. Beim Quadrieren verschwindet also das Wurzelzeichen. Gleichzeitig gilt aber auch (–√9)2 =(–3)2= 9.  Da leider auch ein allfälliges Minuszeichen verschwindet, muss man beide Fälle im Auge behalten, wenn man die Gleichung x2= 9 löst.

Jetzt das Beispiel

        

Hier muss man 2 Fälle unterscheiden und auf 2 Arten  weiterrechnen.

1. Fall +

x-4 = (7-2x)2

0= 49-28x+4x2-x+4

0=4x2-29x+53    Quadratische Gleichung.

Diskriminante b2-4ac = 292-4*4*53 = -7 <0   -----> Keine reelle Lösung.

2. Fall -

 

x-4 = - (7-2x)2

0= -49+28x-4x2-x+4

0=- 4x2 + 27x -49   Quadratische Gleichung

Diskriminante b2-4ac = 272- 4*4*49 = -55 ---------> Keine reelle Lösung

Die ursprüngliche Gleichung hatte somit keine reelle Lösung. Das ist natürlich etwas blöd, aber durchaus normal, wenn man einfach so eine Wurzelgleichung aufstellt. Halte dich besser an Aufgaben im Buch.

Wenn ihr die quadratischen Gleichung noch nicht behandelt habt, musst du versuchen quadratische Gleichungen zu faktorisieren, sollte eine solche herauskommen. Das ist höchstens dann möglich, wenn überhaupt eine Lösung vorhanden ist.

Zudem: Prüfe auf jeden Fall, ob deine Lösung auch in der ursprünglichen Gleichung eingesetzt werden kann. Eine negative Zahl unter der Wurzel ist da nicht möglich.

Beantwortet 5 Sep 2012 von Lu Experte C

Achtung: Der Fall - ist überflüssig! Bitte wieder streichen! Es kann ja keine negative Zahl unter der Wurzel gestanden haben!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Daumen
2 Antworten
0 Daumen
2 Antworten

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Memelpower
...