Matrix mit Sinus und Cosinus ((sin x, cos x),(cos x, sin x)) quadrieren und vereinfachen.

Question

Zeigen Sie:

$$ \left( \begin{array} { c } { \sin ( x ) \cos ( x ) } \\ { \cos ( x ) \sin ( x ) } \end{array} \right) ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { \sin ( 2 x ) } \\ { \sin ( 2 x ) } & { 1 } \end{array} \right) $$

Wie kommt man da von sin(x) und cos(x) zu 1 und wieso fällt da auf einmal cos(x) ganz raus? Da alle Faktoren positiv sind, solte doch cos(x) in der Lösung vorkommen, oder nicht?

Comments

schreib statt dem Quadrat die Matrizen nebeneinander und wende die Matrixmultiplikation an. Beachte dann die Theoreme der Winkelfunktionen und schon hast du deine Lösung.

Answer 1

Dir ist bewusst wie man mit einer Matrix rechnet?

Dann zeig ich Dir mal die Einträge:

 

(1,1)=sin²(x)+cos²(x)=1=(2,2)

(1,2)=cos(x)sinx()+sin(x)cos(x)=2sin(x)cos(x)=sin(2x)=(2,1)

Klar? Wenn Du Dich gerade nicht mehr an die Matrixmultiplikation erinnern kannst, gib Bescheid ;).

 

Da alle Faktoren positiv sind, solte doch cos(x) in der Lösung vorkommen, oder nicht?

Da verstehe ich nicht ganz, was Du meinst? Vielleicht ist das mit obigen aber beantwortet ;).

Comments

2sin(x)cos(x)=sin(2x) war mir nicht bewusst, war aber in der Vorlesung wie ich gerade sehe.