f(x) = e^x Bildmenge?

Question

Hi.

Soweit ich weiß ist die Bildmenge jene Menge, die der Graph mit dem einsetzen der Definitionsmenge tatsächlich als Funktionswert erreichen kann.

Also = Bildmenge ⊆ Wertebereich

Da die e-Funktion asymtotisch (oder so :D) zur X-Achse verläuft, können sich in der Bildmenge doch keine negativen Zahlen befinden?

Wäre die Bildmenge so richtig definiert:

Bild(f) = ℝ ⟩ 0

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Angenommen ich hätte folgende Funktion:

g(x)= (x-(1/x)) / 2

Wie ließe sich die Bildmenge da ausrechnen?

Comments

Nach bisschen drüber nachdenken, bin ich zum Entschluss gekommen, dass auch die Bildmenge der unteren Funktion alle positiven reellen Zahlen sind. (Vorausgesetzt die Definitionsmenge >0)

Liege ich damit richtig? Denn wenn ich 1 einsetze kommt der Funktionswert 1 raus. Je größer die eingesetzte Zahl, umso größer auch der Wert, da sie ja streng monoton wachsend ist.

Vielleicht kann mir jemand das mal bestätigen :D

Answer 1

bei der e-Funktion ist deine Überlegung richtig.
bei  g(x)= (x-(1/x)) / 2
könntest du aber auch 0,5 = x einsetzen, das gäbe
dann was negatives

Ich würd mal so sagen: wenn du nur x>0 betrachtest:
für x gegen Null geht 1/x gegen unendlich, also x - 1/x gegen - unendlich.
für x gegen unendlich geht 1/x gegen 0 also x - 1/x gegen unendlich.

Da es eine stetige Funktion ohne Definitionslücken im Bereich x>0 ist,
ist die Bildmenge ganz IR.

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Stimmt. Hatte nur an 1 und größer gedacht.. Klar das Werte es Werte wie 0,1..0,9 noch gibt.

Danke sehr

Answer 2

Da die e-Funktion asymtotisch (oder so :D) zur X-Achse verläuft, können sich in der Bildmenge doch keine negativen Zahlen befinden?

Wäre die Bildmenge so richtig definiert:

Idee ist richtig. Eine Menge solltest du aber mit geschweiften Klammern angeben. Alternativ geht hier auch die Intervallschreibweise (runde Klammern, da die Endpunkte nicht zum Intervall gehören)

Bild(f) = {x ∈ℝ | x ⟩ 0} = (0, ∞)

2. Aufgabe: Vgl. Antwort von mathef.

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Danke sehr! Muss mir diese Schreibweise noch angewöhnen

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Bitte. Ich habe übrigens vorausgesetzt, dass die Definitionsmenge R ist.

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Da in der Aufgabe keine Def.Menge angegeben ist, gehe ich auch davon aus. :D :)