Aufgabe mit Lagrange Verfahren

Question

hallo liebe Leute,

Hab ein ziemliches Problem mit einer Aufgabenstellung :

Die Nutzenfunktion eines Haushalts lautet   E(x₁ ,x₂ ) = 2 x₁ x₂

Die Preise der Güter 1 und 2, die in den Mengen x₁ und x₂ konsumiert werden, sind

p₁ = 3 € und p₂ = 2 €. Dem Haushalt steht zum Konsum der beiden Güter ein Einkommen

von 60 € zur Verfügung. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Funktion die nutzenmaxi-

malen Nachfragemengen x₁ und x₂ . 

Als Ergebnis soll  (10/15/300) rauskommen. Ich bin leider schon bei der Anwendung des Lagrange-Verfahren ziemlich überfordert und denke mir könnte da wirklich nur der Lösungsweg, recht detailliert, weiterhelfen. Für eure Hilfe wäre ich euch sehr sehr dankbar, zumal die Klausur schon in weniger als 1er Woche anliegt. Vielen Vielen Dank euch imm Voraus,

Liebe Grüße,

David

Answer 1

  E(x₁ ,x₂ ) = 2 x₁ x₂

 Nebenbedingung ist das zur Verfügung stehende Geld:

3*x1 + 2*x2 = 60

Also Lagrangefunktion mit L statt Lambda

 F(x1,x2,L) = 2x1*x2 + L*(3x1+2x2 - 60)

Ableitungen

nach x1:     F ' x1  (x1,x2,L) = 2x2 + 3L

nach x2:     F ' x2  (x1,x2,L) = 2x1 + 2L

nach L    F ' _L  (x1,x2,L) = 3x1+2x2 - 60

alle gleich Null setzen gibt bei den ersten beiden:

2x2 = -3L    und   2x1 = -2L   also

4x2 = -6L    und    6x1 = -6L gleichsetzen

4x2 = 6x1   also    x2 =   1,5 x1

in die Nebenbedingung (bzw. F ' _L = 0 ) einsetzen 

3x1  +  3x1 = 60   also x1=10   und die 10 wieder einsetzen

gibt x2 = 15

Jetzt noch (z.B. mit geränderter Hesse-Matrix) zeigen,

dass diese einzige kritische Stelle tatsächlich ein Max. ist.