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Entwickeln Sie eine Rekursionsformel zur Berechnung der Determinante der n x n Matrix A, wobei

$$ A = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 5 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 5 } & { - 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 5 } & { - 1 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 5 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { 5 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { - 1 } & { 5 } \end{array} \right) $$

ist.

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Das lässt sich relativ einfach mit dem Entwicklungssatz nach Laplace lösen.

Definiert man An als nxn-Matrix der entsprechenden Form, so erhält man entwickelt nach der ersten Zeile:


det An = 5*det An-1 + 1*det Bn-1


wobei Bn-1 die Streichungsmatrix ist, die entsteht, wenn man die erste Zeile und die zweite Spalte streicht, also

$$ B_{n-1} = \left( \begin{array} { c c c c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 5 } & { - 1 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { 0 } & { - 1 } & { 5 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { 0 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { 5 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { - 1 } & { 5 } \end{array} \right) $$

Entwickelt man nun diese Matrix nach der ersten Spalte, so bleibt als Streichungsmatrix gerade An-2 übrig!

Man erhält also:

det An = 5*det An-1 - 1*det An-2

Außerdem gilt A1 = 5, also det A1 = 5. Ferner muss (damit die Formel funktioniert) A0 = 1 gesetzt werden. +

Dann können alle weiteren Determinanten mit der Formel bestimmt werden, so ist z.B.

det A3 = 5*det A2 - det A1 = 5*(5*det A1 - det A0) - 5 = 5*(25-1) - 5 = 115

und

det A4 = 5*det A3 - det A2 = 5*115 - (5*det A1 - det A0) = 5*115 - 24 = 575 - 24 = 551

Dass diese beiden Zahlen tatsächlich richtig sind, kann man nun z.B. bei A3 noch mit der Sarrusregel prüfen. Es ergibt sich die gleiche Zahl.

von 10 k

sry ich checks no net... ich weiß wie man entwickelt... aber irgendwie nehm ich da immer als Vorfaktor die Zahl (mit jeweiligem Vorzeichen), die in der Zeile steht, nach der ich entwickel... also in dem Fall einmal +(-1) und einmal -(-1). Wie kommst du auf die 5? Und woher weiß man welche Determinante grade gemeint ist, wenn man einfach (An-2) schreibt?

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