Berechnen Sie arctan(x)' und (arctan(1/x))'

Question

Aufgabe:

(a) Berechnen Sie \( (\arctan (x))^{\prime} \) und \( \left(\arctan \left(\frac{1}{x}\right)\right)^{\prime} \).

(b) Zeigen Sie, dass die Funktion

\( f:] 0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)\right. \)

konstant ist und berechnen Sie ihren Wert.

Answer 1

arctan ' (x) = 1 / (1+x^2 )  und arctan (1/x) ' =  1 / (1 + (1/x)^2 ) * - x^{-2}  =  x^2 / ( x^2 +1 ) * (- 1 /x^2 )
            =  -1 / ( 1+x^2 )  

also  hat die Summe die Abl. 0 und ist demnach konstant.
Der wert lässt sich z.B. für x=1 berechnen  arctan(1) + arctan( 1/1) = 2*arctan(1) = pi/2

Comments

ah ok danke ! kannst du mir sagen warum eine Funktion konstant ist wenn die summe der Ableitung 0 oder ist das einfach so festgelegt?

---

Wenn die Ableitung einer Funktion 0, dann ist die Funktion konstant

(anschaulich:   Steigung 0, y-Wert bleibt immer auf der gleichen Höhe)

Und hier ist halt die Summe konstant.

---

ach na klar danke für deine schnelle Hilfe

Answer 2

a) ja genau die Ableitungen. Bei einer die Kettenregel nicht vergessen.

b) Hier musst du a) verwenden und dir überlegen wie die Ableitung einer konstanten Funktion aussieht.

Gruß