Bestimmen Sie die erste bis vierte Ableitung. (Taylorentwicklung und Lagrangesche Restglied)

Question

Aufgabe Tylorentwicklung und Lagrangesche Restglieddarstellung:

Gegeben sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2} e^{-x} \)

a) Bestimmen Sie die erste bis vierte Ableitung von \( f \).

b) Geben Sie \( T_{f}^{3}(x, 0) \) und die Lagrangesche Restglieddarstellung des zugehörigen Rests \( R_{3}(x, 0) \) an.

c) Zeigen Sie:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{R_{3}(x, 0)}{x^{3}}=0 \)

Hinweis: Ist \( \xi=\xi(x) \) zwischen 0 und \( x \), so geht \( \xi \) für \( x \rightarrow 0 \) gegen 0

Answer 1

a) Ableiten wirst du ja können.

b) Du musst für das Taylorpolynom nur die Ableitungen berechnen und der Rest ist einfach einsetzen.

http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1054&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CCMQFjAA

Da ists erklärt

Comments

Sind die Ableitungen richtig?


f ' (x)=2e^-x - x^2e^-x
f " (x)=x^2e^-x-4xe^-x+2e^-x
f '" (x)=-x^2e^-x+6xe^-x-6e^-x
f "" (x)=x^2e^-x-8xe^-x+12e^-x

und dann weiter:

f  (0)= 0
f ' (0)= 0
f '' (0)=2
f '" (0)=-6
f "" (0)=12

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Wäre vielleicht besser wenn du die etwas lesbarer aufschreibst. Indem du z.b. (-x) richtig in den Exponenten schiebst.

Die erste Ableitung ist richtig.

Es fällt doch bestimmt auf ,dass f'(x) = 2^{-x} - f(x).

Das heißt, du kannst den ersten Teil ableiten,den zweiten Teil dann einfach von oben einsetzen.

Nur so nebenbei mal bemerkt.

Die f'(0) usw. kontrolliere ich nicht, ich gehe mal von aus, du kannst einsetzen und den Taschenrechner rechnen lassen. (Wolframalpha.de überprüft das bestimmt auch gerne für dich)

Diese Werte musst du nur noch in die Formel fürs Taylorpolynom einsetzen.

Ich mach mal den Anfang:

f(0)/0! * (x-0) ^0 = 0

+ f'(0)/1!*(x-0 ) ^1 = 0

....

Das Restglied ist das (n+1)te Glied, also du musst jetzt noch das 3. Glied berechnen. Das 4. Glied ist dann das Restglied.