Bestimmen Sie für den Endomorphismus die Eigenwerte

Question

Sei ε ∈ K, ε ≠ −1. Bestimmen Sie für den Endomorphismus
$$ F : K^2 → K^2 , \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \mapsto\begin{pmatrix} b\\c \end{pmatrix} $$
mit c := εa + (1 − ε)b
die Eigenwerte und, sofern möglich, eine Basis des K² aus Eigenvektoren von F .

Answer 1

Matrix ist (mit e statt ε )  M =
0       1
e      1-e
und det( M - x*E) = x^2 - (1-e)*x - e
für die Eigenwerte L muss det = 0
also L=1 oder L= -e
wegen e ungleich -1 also zwei verschiedene Eigenwerte.
Eigenvektoren sind dann
zu x=1   die Lösungen des hom. Gleichungssystems mit der Matrix
-1        1   
e        -e
also alle Vektoren der Form (t , -t ) also ein Basisvektor (1,-1).
zu x=-e   die Lösungen des hom. Gleichungssystems mit der Matrix
e        1   
e        1
also alle Vektoren der Form (t , -e*t ) also ein (möglicher) Basisvektor (1,-e).

Damit gibt es für e ungleich 1 immer eine Basis mit diesen beiden
Eigenvektoren, nur für e=1 sind sie lin. abh. und bilden also keine
Basis.