Ist M ein Normalteiler von H, so ist α- (M) ein Normalteiler von G, der Kern (α) enthält

Question

Sei α: G→H ein Gruppenhomorphismus - Zeigen Sie:

(1) Ist M ein Normalteiler von H, so ist α^- (M) ein Normalteiler von G, der Kern (α) enthält.

(2) Ist N ein Normalteiler von G, so ist α(N) ein Normalteiler von Bild (α)

Ich verstehe was in der Aufgabenstellung von mir verlangt ist, habe aber absolut keinen Ansatz wie ich das zeigen soll. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Sei g∈G und n∈α^-1(M). Dann gilt α(g*n*g^-1) = α(g)*α(n)*α(g^-1)   [ wegen Hom.]

=α(g)*α(n)*α(g)^-1    Bild des Inversen ist Inverses vom Bild

Und wegen n∈α^-1(M) ist α(n)∈M und weil M Normalteiler ist, ist

α(g)*α(n)*α(g)^-1   ∈ M , also  g*n*g^-1 ∈α( M) , also  α^-1( M) Normalteiler von G.

Enthält Kern(α), da M eine Untergruppe ist, also das neutrale El.   e von H

enthält, also  α^-1( M)  alle Urbilder von e, und das ist eben Kern(α)