Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass das nichtlineare Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt.

Question

Aufgabe:

Für $1 \leq i, k \leq n$ seien reelle Zahlen $b_{i}$ und $c_{i k}$ gegeben, so dass

$\sum \limits_{i, k=1}^{n} c_{i k}^{2}<1$

Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass das nichtlineare Gleichungssystem

$x_{i}=b_{i}+\sum \limits_{k=1}^{n} \sin \left(c_{i k} x_{k}\right), \quad 1 \leq i \leq n$

genau eine Lösung besitzt.