Question

Finden Sie alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen:

(a) \( \sinh (\ln (x))=1 \),

(b) \( \ln \left(\frac{1}{2}\left(e^{x+3+\ln 2}-1\right)\right)=\frac{1}{2} \ln \left(e^{10}-e^{5}+\frac{1}{4}\right) \),

(c) \( \ln \sqrt[4]{x^{5}}+4=\ln \sqrt[4]{x} \)

(d) \( \frac{e^{i x}}{\cos (x)}=1+i \).

Ansatz/Problem:

Meine Idee für (a). einfach nach x umstellen?

sinh(In(x)) =1 ⇔ e^sinh(In(x)) = e¹   ???

für (b) auch nach x umstellen?

Answer 1

sinh(In(x)) =1      vielleicht mit   sinh(x) = (e^x - e^{-x} ) / 2
(e^ln(x) - e ^-ln(x) ) / 2 = 1
x - 1/x = 2   | x  ..........

ln( o,5 * e ^{x + 3 + ln(3)}   -   1 )  =  0,5 * ln ( e¹⁰  - e^5  + 0,25 )

2 * ln ( 0,5 * e^{x+3} * 3  -  1  )  =   ln ( e¹⁰  - e^5  + 0,25 )
2 * ln ( 1,5 * e^{x+3}   -  1  )  =   ln ( e¹⁰  - e^5  + 0,25 )

 ln (( 1,5 * e^{x+3}  -  1) ^2   )  =   ln ( e¹⁰  - e^5  + 0,25 )
( 1,5 * e^{x+3}  -  1) ^2   )  =     e¹⁰  - e^5  + 0,25
1,5 * e^{x+3}  -  1   = wurzel( e¹⁰  - e^5  + 0,25 )
e^{x+3} = (1+wurzel( e¹⁰  - e^5  + 0,25 ))*(2/3)   die 2. Lösung mit 1 - wurzel....entfällt da e^{x+3} positiv !
x+3 = ln ( (1+wurzel( e¹⁰  - e^5  + 0,25 ))*(2/3))
x = ln ( (1+wurzel( e¹⁰  - e^5  + 0,25 ))*(2/3)) - 3

ln( x ^5/4 )  + 4  = ln ( x ^1/4 )
(5/4) * ln(x) + 4 = (1/4) * ln(x)
 4 = (1/4) * ln(x) - (5/4) * ln(x)
4 =  - ln(x)
-4 = ln(x)
x = e^{-4}

e^{i*x} = (1+i)*cos(x)
cos(x) + i*sin(x) = cos(x) + i * cos(x)
               i*sin(x) = i*cos(x)  
                   tan(x) = 1
             x = arctan(1)
                  x = pi/4  

Comments

ich glaube bei b hast du ein abschreibfehler gemacht?! sollte es nicht 2*0,5 da ln(2) heißen?