Stammfunktion vom Term 3/x4

Question

ich suche zu folgendem Integral die Stammfunktion:

$$\int { (\frac { 10x^{ 8 }+3 }{ x^{ 4 } } } )\quad dx$$

Vorgegangen bin ich bisher wie folgt:

$$\int { (\frac { 10x^{ 8 }+3 }{ x^{ 4 } } } )\quad dx=\int { (10{ x }^{ 4 }+\frac { 3 }{ x^{ 4 } } } )\quad dx=\frac { 10{ x }^{ 5 } }{ 5 } +\frac { 3 }{ (\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } ) } =2{ x }^{ 5 }+\frac { 15}{ {x }^{ 5 }} + c$$

Laut Lösungsangabe soll aber rauskommen:

$$2{ x }^{ 5 }- \frac { 1}{ x^{3}}+c$$

Also habe ich ja offensichtlich beim Term 3/x⁴ etwas nicht richtg gemacht. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

$$\int \left( \frac{10x^8+3}{x^4} \right) dx=\int \left( 10x^4+\frac{3}{x^4} \right) dx=10 \int x^4 dx+3 \int \frac{1}{x^4} dx \\ =10 \int x^4 dx+3 \int x^{-4} dx=10 \frac{1}{5}x^5+3 \frac{1}{-3}x^{-3}+c=2x^5-x^{-3}+c \\ \Rightarrow \int \left( \frac{10x^8+3}{x^4} \right) dx= 2x^5-\frac{1}{x^3}+c$$

Answer 2

Schreibe den Term so um, dass du keinen Bruch mehr dort stehen hast. Nun kannst die 3 wie immer als Konstante sehen und die Stammfunktion von x^-4 bestimmen.

$$\int { \frac { 3 }{ { x }^{ 4 } } =\int { 3\cdot { x }^{ -4 }=3\cdot \frac { 1 }{ -4+1 } \cdot { x }^{ -4+1 }+c=-\frac { 3 }{ 3 } \cdot { x }^{ -3 }+c=-{ x }^{ -3 }+c=-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } +c } }$$