Beweisen Sie die Formel: max (f,g) = 1/2 (f+g) + 1/2 |f-g|.

Question

Seien f,g: [a,b] → ℝ zwei Funktionen.Wir definieren die Funktionen max (f,g): [a,b] → ℝ durch

max (f,g)(x):={ f(x), falls f(x)≥g(x) ist

                      g(x), falls g(x)≥f(x) ist.

Beweisen Sie die Formel

max (f,g) = 1/2 (f+g) + 1/2 |f-g|.

Daraus folgt: Wenn f und g Riemann integrierbar sind, dann ist max (f,g) auch.

Comments

Rechne doch einfach die Fälle durch.

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Könntest du mir vielleicht einen Fall vorrechnen als Beispiel? Weiß gerade nicht so recht, wie ich anfangen soll.

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Was passiert denn mit dem Betrag |f-g| wenn f > g, f<g und f=g. Ich würde dir wärmstens empfehlen in Aussicht auf bald bevorstehende Prüfungen, diese Aufgabe selbst zu lösen.

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Okay, werde mal versuchen damit weiterzukommen.

Answer 1

etwa so:   Sei x aus [a,b] .
1. Fall f(x)≥g(x) dann ist max (f,g) (x) = f(x)
und   (1/2 (f+g) + 1/2 |f-g|)(x)
= 1/2 (f+g)(x) + 1/2 |f-g|(x) 
 und wegen f(x)≥g(x) ist   |f-g|(x) = f(x)-g(x) also weiter mit
= 1/2 (f(x)+g(x)) + 1/2 ( f(x)-g(x) )  =   f(x).

2. Fall   f(x)≤   g(x)  dann ist max (f,g) (x) = g(x)
und   (1/2 (f+g) + 1/2 |f-g|)(x)
= 1/2 (f+g)(x) + 1/2 |f-g|(x) 
und wegen f(x)≤g(x) ist   |f-g|(x) = g(x)-f(x) also weiter mit
= 1/2 (f(x)+g(x)) + 1/2 ( g(x)-f(x) )  =   g(x).

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