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Seien f,g: [a,b] → ℝ zwei Funktionen.Wir definieren die Funktionen max (f,g): [a,b] → ℝ durch

max (f,g)(x):={ f(x), falls f(x)≥g(x) ist

g(x), falls g(x)≥f(x) ist.

Beweisen Sie die Formel

max (f,g) = 1/2 (f+g) + 1/2 |f-g|.

Daraus folgt: Wenn f und g Riemann integrierbar sind, dann ist max (f,g) auch.

von

Rechne doch einfach die Fälle durch.

Könntest du mir vielleicht einen Fall vorrechnen als Beispiel? Weiß gerade nicht so recht, wie ich anfangen soll.

Was passiert denn mit dem Betrag |f-g| wenn f > g, f<g und f=g. Ich würde dir wärmstens empfehlen in Aussicht auf bald bevorstehende Prüfungen, diese Aufgabe selbst zu lösen.

Okay, werde mal versuchen damit weiterzukommen.

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort
etwa so:   Sei x aus [a,b] .
1. Fall f(x)≥g(x) dann ist max (f,g) (x) = f(x)
und   (1/2 (f+g) + 1/2 |f-g|)(x)
= 1/2 (f+g)(x) + 1/2 |f-g|(x)
 und wegen f(x)≥g(x) ist   |f-g|(x) = f(x)-g(x) also weiter mit
= 1/2 (f(x)+g(x)) + 1/2 ( f(x)-g(x) )  =   f(x).

2. Fall   f(x)≤   g(x)  dann ist max (f,g) (x) = g(x)
und   (1/2 (f+g) + 1/2 |f-g|)(x)
= 1/2 (f+g)(x) + 1/2 |f-g|(x)
und wegen f(x)≤g(x) ist   |f-g|(x) = g(x)-f(x) also weiter mit
= 1/2 (f(x)+g(x)) + 1/2 ( g(x)-f(x) )  =   g(x).
von 152 k

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