Partialbruchzerlegung ((x6)/(x4+3x²+2))

Question

$$\frac { { x }^{ 6 } }{ { x }^{ 4 }+3x²+2 }$$

Ich soll diesen Term integrieren. Bei der Ermittlung der Nenner-Nullstellen gerate ich leider an komplexe. Ich soll das aber Reell lösen. Hier bringt mich die Partialbruchzerlegung irgendwie nicht weiter, obwohl ich es nach dem Verfahren lösen soll.

Ich habe im Internet öfter was von Polynomdivision, Nenner auseinander ziehen, Integraltabellen, arctan und gelesen, leider bringt mich das nur so weit:

$$x²-3+\frac { 7x² }{ { x }^{ 4 }+3x²+2 } -\frac { 6 }{ { x }^{ 4 }+3x²+2 }$$

Eine Lösung liefert mit WA:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28%28x%5E6%29%2F%28x%5E4%2…

Das würde z.B. schon zu meinen 2 ersten Termen integriert passen. :)

Mir ist aber der Weg wichtig. (Auch wenn es nur die richtige Formel ist)

Freue mich über eure aufschlussreichen Antworten!

Liebe Grüße!

Answer 1

Bei deiner Polynomdivision hast du einen Fehler in deinem Vorzeichen bei dem Rest.
Ich könnte dir das jetzt in Mühe alles Vorrechnen, oder ich verweise dich einfach hierhin:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Benutze das Skript, es rechnet dir Schritt für Schritt ( mit Erklärungen !! ) vor was gemacht wird.
Ich habe durch das Skript auch verstanden wie Partialbruchzerlegung funktioniert.

Comments

Sehr hilfreich!

Answer 2

eine Partialbruchzerlegung wird schon notwendig werden. Diese mag komplex sein, aber wenn Du kein linearen Term im Nenner, sondern einen quadratischen hast, wirst Du nicht mit komplexen Zahlen rechnen müssen ;).

https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung

Grüße

Comments

Hilfreich!

Ich komme auf:

$$\int \frac { { x }^{ 6 } }{ { x }^{ 4 }+3x²+2 } dx\quad \\ \int { x²-3+\frac { 7x²+6 }{ { x }^{ 4 }+3x²+2 } } dx\\ \int { x²-3-\frac { 1 }{ x²+1 } +\frac { 8 }{ x²+2 } } dx\\ \frac { 1 }{ 3 } x³-3x-ln(x²+1)+8ln(x²+2)$$

WA aber auf:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28%28x%5E6%29%2F%28x%5E4%2…

Wenn ich für beide Lösungen x =7 auf Probe stelle, erhalte ich unterschiedliche Ergebnisse.

Was hat das zu bedeuten?

LG

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Okay, meine Integration ist  falsch.

Ich habe die Brüche so integriert, als hätte ich lineare Ausdrücke im Nenner.

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Wie integriere ich aber die Brüche ohne Kenntnis von arctan.

Bzw. wie komme ich da hin.

LG

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Hmm, wenn Du keine Tabelle verwenden darfst, ist das eher schwer. Man könnte da mit Umkehrfunktion etc arbeiten. Eventuell gibt es auch eine trigonometrische Subst.

Üblich ist es hier eine Tabelle zu verwenden. Dazu muss da teils auf die entsprechende Form gebracht werden, also insbesondere letzterer Summand. Probier nochmals :).

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Hi!

Kannst du mir die entsprechende Tabelle bitte zeigen?

LG

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Die gibt es in jeder Formelsammlung.

Hier mal die von Wiki: https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunkt…

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Die hier ist klar. Die kommt bei mir auch vor.

Wie kriege ich das aber mit dem hin:
$$\frac { 8 }{ x²+2 }$$

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Das ist nun der Trick an der Sache^^.

Du musst das ganze wieder auf obige Form hinbiegen, denn diese lässt sich erahnen.

Dafür kürze Zähler und Nenner mit 2. Du hast also:

$$\frac{8}{2(\frac{x^2}{2}+1)} = \frac{4}{\frac{x^2}{2}+1}$$

Der Zähler stellt kein Problem dar. 4 ist ein konstanter Faktor und kann vorangestellt werden. Nehmen wir nun noch $\frac{x^2}{2} = u^2$ haben wir was wir brauchen:

$$\to4\frac{1}{u^2+1}$$

Dann normal weitermachen und Resubst. nicht vergessen ;).

Vergiss nicht dx zu ersetzen!

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Danke sehr!

Ich kann dem bisher folgen. Aber ich weiß jetzt nicht wie ich das u in das Integral für alle x? darstellen kann.

Kannst du mir bitte noch diesen letzten Schritt vormachen? :-/

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Dein Integral ist bisher:

$$\int { x²-3-\frac { 1 }{ x²+1 } +\frac { 8 }{ x²+2 } } dx$$

Oder auch geschrieben:

$$\int x²\;dx-\int3\;dx- \int\frac { 1 }{ x²+1 } dx + \int \frac { 8 }{ x²+2 } dx$$

Die ersten drei Integrale sind nun klar?

Das letzte haben wir umgeschrieben zu:

$$\int \frac{4}{u^2+1} dx$$

Das dx kann aber nicht stehen bleiben! Wir müssen es durch ein du ersetzen.

$\frac{x}{\sqrt2} = u \to \frac{1}{\sqrt2}dx = du \to dx = \sqrt{2}du$

Das Integral sieht also so aus:

$$\int 4\sqrt2\frac{1}{u^2+1}du$$

Der Rest stellt nun kein Problem mehr dar, oder?

:)

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Jaaa, sehr vielen Dank.

Jetzt ist alles klar.

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Na das höre ich doch gerne! Freut mich und bitte :).