Momentangeschwindigkeit beim Snowboarder

Question

Ein Snowboarder gleitet einen relativ flachen, aber spiegelglatten Hang ginab.

Das Weg-Zeit-gesetz der Bewegung wird durch die Formel s(t)= 1,5 t² beschrieben.

Dabei ist t die zeit in Sekunden und s der zurückgelegte Weg in Metern.

a) Welchen Weg hat das Snowboard nach 1 sekunde bzw. nach 5. Sekunden zurückgelegt ?

b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten fünf Sekunden der Fahrt?

c) Wie groß ist die Momentanegeschwindigkeit exakt fünf Sekundedn nach Fahrtbeginn?

Verwenden Sie eine Näherungstabelle oder eine exakte Grenzwertrechnung.

Quelle:

Verlag: Cornelsen

Bigalke/Köhler Mathematik Gymnasiale Oberstufe Nordrhein-Westfalen Einführungsphase

Answer 1

Das Weg-Zeit-gesetz der Bewegung wird durch die Formel s(t)= 1,5 t² beschrieben.

Dabei ist t die zeit in Sekunden und s der zurückgelegte Weg in Metern.

a) Welchen Weg hat das Snowboard nach 1 sekunde bzw. nach 5. Sekunden zurückgelegt ?

s(1) = 1,5* 1^2 m = 1,5m

s(5) = 1,5*5^2 = 37,5 m

b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten fünf Sekunden der Fahrt?

(s(5) - s(0))  /  (5 - 0) =   7,5

c) Wie groß ist die Momentanegeschwindigkeit exakt fünf Sekundedn nach Fahrtbeginn?

(s(5+h) - s(5) ) / h  =  ( 1,5*(5+h)^2 - 37,5 ) / h  =  (1,5 * ( 25 + 10h + h^2 ) - 37,5 ) / h

= (15h + 1,5*h^2 ) / h  =   15 + 1,5h    und für h gegen 0 ist das gleich 15.

Also v(5)  = 15 m/s.   Korrigiert nach Kommentar von georgborn

Verwenden Sie eine Näherungstabelle oder eine exakte Grenzwertrechnung.

Comments

Fehlerkorrektur
c) Wie groß ist die Momentanegeschwindigkeit exakt
fünf Sekundedn nach Fahrtbeginn?
s = 1.5 * t^2
s ´= v = 3 * t
v ( 5 ) = 3 * 5 = 15 m/s

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Danke für den Tipp. Habe mich schon wieder verrechnet.

Aber die sollten das wohl ohne Ableitungsregeln (siehe

Aufgabe) machen.

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Ich habe dein Ergebnis nur mit der in diesem Fall
schnelleren 1.Ableitung nachkontrolliert.

Verwenden Sie eine Näherungstabelle
Was mag damit auf die Aufgaben bezogen gemeint sein?

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Ich vermute mal sowas:  Durchschnittsgeschwindigkeit in der Nähe von t=5

mit gegen Null gehender Zeitdifferenz

Delta_t     0,1       0,01     o,001  

v_quer   

Answer 2

Aus der Physik kennst du s(t) = 1/2 a t^2 (gleichmässig beschleunigte Bewegung aus dem Stand.

---> a = 3 m/s^2   (Einheiten geraten). [Dient zur Kontrolle von d). ]

Das Weg-Zeit-gesetz der Bewegung wird durch die Formel s(t)= 1,5 t² beschrieben.

Dabei ist t die zeit in Sekunden und s der zurückgelegte Weg in Metern.

a) Welchen Weg hat das Snowboard nach 1 sekunde bzw. nach 5. Sekunden zurückgelegt ?

t = 1 und t = 5 in s(t) einsetzen.

s(5) = 1.5 * 5^2 = 37.5 (vermutlich Meter)

b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten fünf Sekunden der Fahrt?

v = DELTAs/DELTAt

v_Mittel= 37.5 / 5 = 7.5 m/s

c) Wie groß ist die Momentanegeschwindigkeit exakt fünf Sekundedn nach Fahrtbeginn?

v(t) = a*t

v(5) = 3 m/s^2*5 s = 15 m/s

Beachte: v_Ende= v(5) = 2*v_Mittel  = 7.5 m/s.

Könnte sein, dass du das mit der h-Methode machen sollst. Du hast da zu wenig genau geschrieben, was du verwenden sollst. Gerechnet hat das mathef bereits.

Comments

a = 3 m/s²   (Einheiten geraten)

Die Einheiten sind aber in der Frage angegeben.

Dabei ist t die zeit in Sekunden und s der zurückgelegte Weg in Metern.

( Hinweis : Ein Satz wurde bunt eingefärbt weil jetzt die Karnevalszeit beginnt )