Dreieck ABC berechnen, gegeben: Seite AB, Seite BC und Winkel Alpha

0 Daumen
1,688 Aufrufe
Gegebenes Dreieck ABC mit Seite AB=10 cm, Seite BC=5 cm und Winkel alpha = 21°.

Gesucht ist Winkel gamma!
Gefragt 10 Sep 2012 von Gast hj2355

Lass dir vom Mathe-Profi helfen und teste die Schülerhilfe zwei Unterrichtsstunden gratis. Jetzt Termin sichern unter 0800 30 200 40 45 oder hier klicken und informieren.

4 Antworten

0 Daumen

Die Aufgabe ist nicht eindeutig! Durch Konstruktion kannst du feststellen, dass es zwei Dreiecke mit den gewünschten Eigenschaften haben.

Als erstes zeichnest du die Strecke AB:

Ich habe die Strecke hier identisch mit der x-Achse gewählt, um das Bild zu vereinfachen.

Jetzt trägst du an A den Winkel von 21° ab und zeichnest einen Strahl, beginnend bei A.

 

Jetzt ziehst du um B einen Kreis mit dem Radius 5cm. Der Schnittpunkt mit dem Strahl markiert dann den möglichen Punkt C.

 

Die möglichen Lösungen sind also:
 

γ1=134,21°

γ2=45,79°

Beantwortet 10 Sep 2012 von Julian Mi Experte X
0 Daumen

Für ein beliebiges Dreieck gilt

β=arc sin (sinα*b/a)⇒ β=10,32°

Die Winkelsumme in  einem Dreieck ist 180°, d.h.:

γ=180°-21°-10,32°=148,68°

Beantwortet 10 Sep 2012 von Akelei Experte XIX
Wenn die Seit AB = a ist und BC = b  und α der Seite a gegenüberliegt  dann ist der Winkel  Gamma 148,68°.
0 Daumen

Die Lösung ist auch mit dem Sinussatz möglich:

sinussatz-allgemein tex: \frac { a }{ \sin { (\alpha ) }  } \quad =\quad \frac { b }{ \sin { (\beta ) }  } \quad =\quad \frac { c }{ \sin { (\gamma ) }  }

 

Für deine Werte (Seite AB = c = 10 cm, Seite BC = a = 5 cm und Winkel α = 21°):

\frac { 5cm }{ \sin { (21°) }  } \quad =\quad \frac { 10cm }{ \sin { (\gamma ) }  } \quad \quad |\quad Kehrwert\\ \\ \frac { \sin { (21°) }  }{ 5cm } \quad =\quad \frac { \sin { (\gamma ) }  }{ 10cm } \quad \quad |*10cm\\ \\ \frac { \sin { (21°) }  }{ 5cm } \quad *10cm\quad =\quad \sin { (\gamma ) } \\ \\ \sin { (\gamma ) } \quad =\quad 0,71673589909060055\quad \quad |\sin ^{ -1 }{ () } \\ \\ \gamma \quad =\quad \sin ^{ -1 }{ (0,71673589909060055) } \\ \\ \gamma \quad \approx \quad 45,786°

 

Und wie Julian schon geschrieben hat, gibt es ein zweites mögliches Ergebnis, da der Sinuswert von sin(45,786°) ≈ 0,7167 sowie der Sinuswert von sin(180° - 45,786°) = sin(134,214°) ≈ 0,7167 ist. Siehe Identitäten.

 

PS: In der Lektion TRI05: Sinus und Kosinus bei Allgemeinen Dreiecken (Sinussatz) findest du das Programm "Sinussatz zur Dreiecksberechnung". Dort kannst du deine Werte eingeben und die Lösung wird berechnet:

sinussatz-loesung-rechnerisch-grafisch

 

Beantwortet 10 Sep 2012 von Matheretter Experte V
0 Daumen

Seite AB=c=10 cm, Seite BC=a=5 cm und Winkel alpha α = 21°

Gegeben ist also ein einer Seite gegenüberliegender Winkel: typischerweise eine Aufgabe für den Sinussatz. Da es sich nicht um den der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel handelt, ist mit einer 2. Lösung zu rechnen.

 

sin γ / c = sin α / a                        |c

sin γ =  c  sin α / a    = 10 sin 21°/5  = 2 sin 21°

γ1 = arc sin (2 sin 21°) = 45,79°

γ2 = 180° - arc sin (2 sin 21°) = 134,21°

 

Beantwortet 10 Sep 2012 von Lu Experte XCV

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Memelpower
...