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ich hätte ein paar Fragen:

1. Könnt ihr mir die geometrische Bedeutung des Wertes der Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 erläutern

2. Könntet ihr mir eine Skizze zur Funktion f(x) und f´(x) zeigen, so zum vergleichen wobei sich die zwei Funktionen unterscheiden und vielleicht erklären.

3.Und eine ausführliche rechnung f´(x) bestimmen: 

                 a)           f(x)=   √ (x+3)

                 b)           f(x)=  1/x2

 

von
Meinst du f(x)=   √ x+3 oder f(x)=   √ (x+3)   ?

D.h. steht 3 unter der Wurzel?
Ja die 3 steht unter der Wurzel, sry

3 Antworten

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1.) Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 gibt die Steigung von f an dieser Stelle an bzw. die Steigung einer Tangenten an dieser Stelle.
Wenn der Wert der Funktion bei steigendem x wächst, dann ist die Ableitung positiv, umgekehrt ist sie negativ, wenn die Funktion fällt.

2.) Am Besten sieht man die einzelnen Details, wenn man sich eine eher komplizierte Funktion anschaut:

Folgende Punkte sind sehr charakteristischt:

x = 2: hier hat die Ableitung eine Nullstelle, damit ist die Tangente an f eine konstante Funktion: f hat ein Extremum, in diesem Fall ein Maximum.

x ≈  -1.5: hier hat die Ableitung ein Minimum, das ist also der Punkt, in dem f am stärksten fällt.

x ≈ - 0.1: hier hat die Ableitung wieder eine Nullstelle, f also ein Extremum.

x ≈  0.5: hier hat die Ableitung wieder eine Nullstelle, f also ein Extremum.

x = 2: hier hat die Ableitung zwar eine Nullstelle, aber sie wechselt ihr Vorzeichen nicht! Darum hat f kein Extremum, sondern einen sogenannten Sattelpunkt.

 

3.) Hier kann man die Lösung mit Hilfe der Potenzregel bestimmen:

Für f(x) = xn gilt f'(x) = n*xn-1.
Damit erhält man:

a) f(x) = √(x+3) = (x+3)1/2

f'(x) = 1/2 * (x+3)1/2 - 1 = 1/2 * (x+3)-1/2 = 1/(2√(x+3))

Dabei verwendet man außerdem noch die Kettenregel, wobei dadurch kein zusätzlicher Faktor auftritt, weil x+3 abgeleitet 1 ergibt.

b) f(x) = 1/x^2 = x^{-2}

f'(x) = -2*x^{-2-1} = -2*x^{-3} = -2/x^3

von 10 k
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1) Könnt ihr mir die geometrische Bedeutung des Wertes der Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 erläutern

Die Ableitung ist die Steigung des Graphen an einer Stelle oder die Tangentensteigung der Tangente an den Graphen an der Stelle.

3) Und eine ausführliche rechnung f´(x) bestimmen:

f(x) = √x + 3 = x^{1/2} + 3
f'(x) = 1/2 * x^{-1/2} = 1/(2√x)

f(x) = 1/x^2 = x^{-2}
f'(x) = -2*x^{-3} = -2/x^3

2)

 Könntet ihr mir eine Skizze zur Funktion f(x) und f´(x) zeigen, so zum vergleichen wobei sich die zwei Funktionen unterscheiden und vielleicht erklären.

Wo f' die Nullstellen hat hat f die Steigung Null. Das sind auch Extrempunkte oder Sattelpunkte.

von 417 k 🚀

Heisst es dann bei der 1) dass es an der stelle x0 keine steigung gibt und die stelle geometrisch gesehen auf 0 liegt?

und bei 3) rechnen wir es anders  ich versteh nicht ganz wie du Sie gerechnet haben.

wir rechnen so (anderes Bsp.):   f(x)= x3+5x

P1(x1 I y1)             P2(x2 I y2)

P1(x I x3+5x)         P2( x+e  Ι (x+e)3+5(x+e))

m=y2-y1/x2-x1

    =e2+3x2+3ex+5

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wir rechnen so (anderes Bsp.):   f(x)= x3+5x

P1(x1 I y1)             P2(x2 I y2)

P1(x I x3+5x)         P2( x+e  Ι (x+e)3+5(x+e))

m=y2-y1/x2-x1

    =e2+3x2+3ex+5

b)           f(x)=  1/x^2

P1(x1 I y1)             P2(x2 I y2)

P1(x I 1/x^2)         P2( x+e  Ι 1/(x+e)^2)

m=(y2-y1)/(x2-x1)                         Beachte: Klammern sind zwingend!

                                                |jetzt Doppelbruch

    = (1/ (x+e)^2  - 1/x^2) / e

                     |Zähler auf einen Bruchstrich, Nenner als Bruch

   = ( (x^2 - (x+e)^2) /x^2*(x+e)^2) / (e/1)

                  |Zähler vereinfachen; mit Kehrwert multiplizieren

= (x^2 - x^2 - 2ex -e^2 ) / (ex^2 (x+e)^2)

= ( - 2ex -e^2 ) / (ex^2 (x+e)^2)

                   |e kürzen

= (-2x - e) / (x^2(x+e)^2)

     |zwei Brüche draus machen

= -2x/ (x^2(x+e)^2)  - e/ (x^2 (x+e)^2)

= -2/ (x(x+e)^2)  - e/ (x^2(x+e)^2)

Limes e → 0, (falls x ≠ 0)

= -2/x^3 = -2 x^{-3}

Schön mit Doppelbrüchen und Limes kannst du das bestimmt auf dem Papier besser.

Nebenbemerkung: f(x) = 1/x^2 hat in x=0 eine Definitionslücke. Daher auch keine definierte Steigung. 

Du hast bereits gesehen, dass in den andern Lösungen einfach die Regel zur Ableitung von Potenzen benutzt wurde.       f(x) = x^n     → f ' (x) = n*x^{n-1}

Das klappt also auch, wenn n = -2 ist.

f(x) = x^{-2}, f ' (x) = -2 * x^{-2-1} = -2x^{-3} = -2/x^3

 

von 162 k 🚀

Du hast beim erweitern einen kleinen Fehler gemacht, folgendermaßen kommt man auch auf dieselbe Lösung, die wir alle schon gepostet haben:

Der Grenzwert ist natürlich nur dann richtig, wenn x ≠ 0 gilt.

f(x) = √(x+3)         definiert für x ≥ -3  

P1(x1 I y1)             P2(x2 I y2)

P1(x I  √(x+3))                P2( x+e  Ι √(x+e+3))

(y2-y1) / (x2 - x1)

         (√(x+e+3) - √(x+3)) / e

             |mit √ + √ erweitern (3. Binom, um Wurzeldifferenz wegzubringen

        = (x+e+3 -(x+3))/(e(√(x+e+3) + √(x+3))

        =    e/(e(√(x+e+3) + √(x+3))

        |mit e kürzen

         =    1/ (√(x+e+3) + √(x+3))

Limes e-----> 0

f ' (x) = 1/ (2√(x+3) ) = 1/2  * (x+3)^{-1/2}         gilt nur für x> -3

Somit wieder dasselbe wie mit den üblichen Formeln.

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