Zeige, dass f(x) = g(x) mindestens eine positive Lösung und eine negative Lösung besitzt

Question

Ich gehe gerade die Probeklausur zu meiner in 2 Wochen anstehenden Hauptklausur durch und haenge gerade an folgender Aufgabe:

Gegeben: $$f(x) = exp(x^2) \ und \ g(x) = x+2$$

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung f(x) = g(x) mindestens eine positive und eine negative Lösung besitzt.

Frage:

Wie soll ich das bewerkstelligen? Ich bin grad in der Uni und mit etwas anderen Sachen beschaeftigt, konnte von daher nur theoretisch an die Aufgabe rangehen und da habe ich an die pq-Formel gedacht. Waere das einer der richtigen Wege oder gaebe es noch etwas eleganteres?

Comments

ich denke die pq-Formel dürfte für die Gleichung
e^{x²} = x + 2
wohl nicht anwendbar sein.
Falls doch dann bitte einmal vorführen.

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Ich danke euch allen sehr für die Anteilnahme und die Lösungsvorschlaege. Leider darf man nur eine beste Antwort waehlen :(! 

Answer 1

Meine Überlegungen

e^x2 = x + 2

Die Funktion e^x2 ist irgendwie etwas Parabelförmiges / Achsensymmetrisches
e¹² = e^(-1)2
Die Funktion x + 2 ist eine Gerade

Aufgrund dieser Überlegungen gibt es eigentlich nur 3 Möglichkeiten
- keine Schnittpunkt
- 1 Schnittpunkt / Berührpunkt
- 2 Schnittpunkte

Ich rechne den Extrempunkt von f ( x ) aus
f ´( x ) = e^x2 * 2x

e^x2 * 2x = 0
Der Extrempunkt ist bei x = 0
f ( 0 ) = 1
E ( 0 | 1 )
Nach links und rechts geht der Funktionswert nach positiv unendlich.

Die Gerade x + 2 ist eine im Winkel von 45 ° nach oben aufsteigende
Gerade die die y-Achse bei P ( 0 | 2 ) schneidet.
P liegt oberhalb von E.

Die Gerade g schneidet f also in 2 Punkten.

Comments

Auf die Fragestellung bezogen :
die Schnittpunkte sind einmal x < 0 und
einmal x > 0.

Answer 2

zeichne dir mal die Graphen, dann siehst du schon, bei x=0
f(0) < g(o) aber für x gegen unendlich wird f viel größer als g
(zum beispiel weil  der Grenzwert von f/g für x gegen unendlich auch unendlich ist.
also muss es für x>0 einen Schn ittpunkt der Graphen geben.
für x gegen - unendlich geht f gegen 0 und g gegen - unendlich.
also ist am "Ende" g < f also muss es für x<0 auch einen Schnittpunkt geben.

Answer 3

Hi, offenbar liegt der Punkt \(\left(0\,|\,g(0)\right)\) oberhalb des Graphen von \(f\). Weiter liegen etwa die Punkte \(\left(-3\,|\,g(-3)\right)\) und \(\left(3\,|\,g(3)\right)\) sicher unterhalb des Graphen von \(f\). Da f und g stetig sind, folgt mit dem Zwischenwertsatz die Behauptung.

Answer 4

Ich würde auch sagen, dass es deshalb ist. Ob es einen eleganteren Weg gibt, kann ich nicht sagen - bin noch Schülerin, aber diese Vermutung kam mir auch als erstes in den Sinn.

Viel Erfolg bei der Klausur!

Comments

Habs mal mit der pq formel grad probiert. Funktioniert aber nicht, wie georgborn es ja schon kommentiert hat.

Danke dir

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Die pq-Formel ist hier überhaupt nicht anwendbar!

Answer 5

Die Aufgabe schreit doch nach Anwendung des Zwischenwertsatzes auf \(x\mapsto e^{x^2}-x-2\).