Berechnen Sie die beiden Eigenwerte sowie zugehörige Eigenvektoren (Diagonalisierung des Trägheitstensors)

Question

Aufgabe:

Der Trägheitstensor $T$ eines Punktes im $\mathbb{R}^{2}$ mit der Masse $m$ und dem Ortsvektor $\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2}$ ist durch folgende reelle symmetrische $2 \times 2$-Matrix definiert:

$T:=m\left[\begin{array}{cc} x_{2}^{2} & -x_{1} x_{2} \\ -x_{2} x_{1} & x_{1}^{2} \end{array}\right]$

Falls nicht gerade $\vec{x}=\overrightarrow{0}$ gilt, hat $T$ zwei Eigenwerte. Ihre Aufgabe besteht darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen sowie $T$ zu diagonalisieren.

Konkret ist Ihre Position gegeben durch

$\vec{x}=\left[\begin{array}{l} -4 \\ -3 \end{array}\right]$

Die Masse $m$ in kg sei $55$.

a) Berechnen Sie die beiden Eigenwerte $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ von $T$ sowie zugehörige Eigenvektoren $\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}$ (nur die Zahlenwerte, also ohne die angegebenen physikalischen Einheiten).

b) Berechnen Sie eine invertierbare Matrix $S$ und eine Diagonalmatrix $D$, sodass $T=S D S^{-1}$

Answer 1

Offenbar brauchst du es ja nicht allgemein sondern für den konkreten Fall der Matrix (den Faktor m lasse ich mal erst weg)  M =
9      -12
-12   16
Dann ist det ( M - L*Einheitsmatrix) = L(L-25) also die
Eigenwerte L=0 und L=25
Dioe Eigenvektoren erhältst du mit dem Ansatz M * x = L*x
und das hat für L=0 die Lösungen (   t  ;   (3/4) t )

und  für L=25 die Lösungen (   t  ;   (-4/3) t )

Also konkret etwa Eigenvektor zu L=0 ist  ( 4 ; 3 )

und a Eigenvektor zu L=25 ist  ( 3; -4 )

und mit dem Faktor 55 vor der Matrix  ist das bei

L=0 immer noch so und der Eigenwert zu ( 3 ; -4 )

ist jetzt allerdings 1375=55*25

und mit den Eigenvektoren als Spalten ist die Transformationsmatrix S^-1 =

3         4

-4        3

also S =

3/25       -4/25

4/25        3/25

dann gibt

S * T * S^-1 =

1375      0

0             0

also die Eigenwerte in der Diag.

Comments

Vielen Dank für die Hilfe.

Eine Frage noch zu den Eigenvektoren: Sind die nicht (4,3) und (-3,4)? Du hattest sie als (4,3) und (3,-4) angegeben...

Wenn man damit weiterrechnet müsste es bei Aufgabe b.) dann nicht so aussehen?

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Wenn dir nicht klar ist, dass der Eigenvektor (3,-4) derselbe ist wie (-3,4) solltest du dir unbedingt nochmal die Grundlagen durchlesen.

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Ups, ja stimmt. Hatte ein Brett vorm Kopf. Danke für den Hinweis. :D