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Aufgabe:

Der Trägheitstensor T T eines Punktes im R2 \mathbb{R}^{2} mit der Masse m m und dem Ortsvektor [x1x2]R2 \left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2} ist durch folgende reelle symmetrische 2×2 2 \times 2 -Matrix definiert:

T : =m[x22x1x2x2x1x12] T:=m\left[\begin{array}{cc} x_{2}^{2} & -x_{1} x_{2} \\ -x_{2} x_{1} & x_{1}^{2} \end{array}\right]

Falls nicht gerade x=0 \vec{x}=\overrightarrow{0} gilt, hat T T zwei Eigenwerte. Ihre Aufgabe besteht darin, die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen sowie T T zu diagonalisieren.

Konkret ist Ihre Position gegeben durch

x=[43] \vec{x}=\left[\begin{array}{l} -4 \\ -3 \end{array}\right]

Die Masse m m in kg sei 55 55 .

a) Berechnen Sie die beiden Eigenwerte λ1,λ2 \lambda_{1}, \lambda_{2} von T T sowie zugehörige Eigenvektoren v1,v2 \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} (nur die Zahlenwerte, also ohne die angegebenen physikalischen Einheiten).

b) Berechnen Sie eine invertierbare Matrix S S und eine Diagonalmatrix D D , sodass T=SDS1 T=S D S^{-1}

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Offenbar brauchst du es ja nicht allgemein sondern für den konkreten Fall der Matrix (den Faktor m lasse ich mal erst weg)  M =
9      -12
-12   16
Dann ist det ( M - L*Einheitsmatrix) = L(L-25) also die
Eigenwerte L=0 und L=25
Dioe Eigenvektoren erhältst du mit dem Ansatz M * x = L*x
und das hat für L=0 die Lösungen (   t  ;   (3/4) t )

und  für L=25 die Lösungen (   t  ;   (-4/3) t )

Also konkret etwa Eigenvektor zu L=0 ist  ( 4 ; 3 )

und a Eigenvektor zu L=25 ist  ( 3; -4 )

und mit dem Faktor 55 vor der Matrix  ist das bei

L=0 immer noch so und der Eigenwert zu ( 3 ; -4 )

ist jetzt allerdings 1375=55*25

und mit den Eigenvektoren als Spalten ist die Transformationsmatrix S-1 =

3         4

-4        3

also S =

3/25       -4/25

4/25        3/25

dann gibt

S * T * S-1 =

1375      0

0             0

also die Eigenwerte in der Diag.

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Vielen Dank für die Hilfe.

Eine Frage noch zu den Eigenvektoren: Sind die nicht (4,3) und (-3,4)? Du hattest sie als (4,3) und (3,-4) angegeben...

Wenn man damit weiterrechnet müsste es bei Aufgabe b.) dann nicht so aussehen?

Bild Mathematik

Wenn dir nicht klar ist, dass der Eigenvektor (3,-4) derselbe ist wie (-3,4) solltest du dir unbedingt nochmal die Grundlagen durchlesen.

Ups, ja stimmt. Hatte ein Brett vorm Kopf. Danke für den Hinweis. :D

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