Nullstellen des Polynoms f(x)= x³+ 2x+1 berechnen

Question

4 Antworten

Ein anderes Problem?

Gast · Answer 1 · 2015-01-31T18:46:17+0000

\text{substituierte }x=u-\frac2{3u}\text{ und erhalte }u^3-\frac8{27u^3}+1=0.

\text{Substituiere }z=u^3\text{ und erhalte }z^2+z-\frac8{27}=0.

Bestimme

z

mithilfe der

pq

-Formel.
Berechne

u

aus

z

und anschließend

x

aus

u

. Lösung sollte sein:

x_N=\frac16\left(\sqrt[3]{12(\sqrt{177}-9)}-\sqrt[3]{12(\sqrt{177}+9)}\right).

Gast · Answer 2 · 2015-01-31T17:38:14+0000

hier würde ich mit dem Näherungsverfahren arbeiten :)

${ x }_{ 1 } = { x }_{ 0 }-\frac { f(x) }{ f´(x) }$

Als Anfangswert nehme ich mal x₀= 0,5.

Nun ableiten:

$f'(x) = 3x^2 +2$

Jetzt in die Formel einsetzen. Die Lösung müsste bei etwa -0,453 liegen.

georgborn · Answer 3 · 2015-01-31T17:40:42+0000

Hallo kann mir jemand bitte erklären, wie man die Nullstellen
von folgendem Polynom bestimmt. f(x)= x³+ 2x+1

Die erste Nullstelle muß fast immer geraten und probiert werden.

Bei deinem Beispiel geht es leider nicht da x ungefähr -0.454 ist.

Es gibt keine algebraische Lösung. Es muß ein z.B. das Newton
Verfahren angewendet werden.

hyperG · Answer 4 · 2015-02-01T18:57:36+0000

Du schreibst leider nicht, welche Klassenstufe, denn es gibt 3 (Lern-)Phasen:

1) bis etwa Ende 10. Klasse:

Raten + Polynomdivision -> da es hier nicht funktioniert kam von Lu die berechtigte Frage, ob Du oder Aufgabensteller nicht falsch aufgeschrieben...?

2) Abi: Newton Verfahren für 1 reelle Nullstelle (siehe Wikipedia)

3) Studium (nicht alle; BWL nicht) & Wissenschaftler:

Es gibt analog zur pq- auch für Gleichungen 3. Grades exakte PQRST-Formel. siehe

Alles mit komplexen Zahlen. 3 Nullstellen:

x1 = [(3(sqrt(177)-9))^1/3-(3(sqrt(177)+9))^1/3]*2^2/3/6 =-0.45339765151640376764474653900...

und 2 komplexe siehe Bild:

Bild Mathematik