Nullstellen des Polynoms f(x)=x^5+5x^4+7x^3-x^2-8x-4 mit euklidischem Algorithmus berechnen

Question

ich habe das Polynom f(x)=x^5+5x^4+7x^3-x^2-8x-4

daraus soll ich per Euklidischen Algorithmus die Nullstellen heruasfinden.

Als Tipp wurde mir gegeben,  dass ich erst f'(x) herausfinden soll was schließlich:

5x^4+20x^3+21x^2-2x-8 ist (erste Ableitung)

Jetzt habe ich f(x) durch f ' (x) geteilt, jetzt bin ich an einem Punkt angelangt, wo sich alles wiederholt.

Also ich habe immer danach den Divisor durch den Rest geteilt.

Habe ich was falsch gemacht?

Comments

Wie hast du denn gerechnet ? Zeige mal den Rechenweg auf , wenn es möglich ist !

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Math12, schreib das als KOMMENTAR!!! Ein letztes mal!!

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@Legendär: Das hab ich ihm auch schon gesagt ^^

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Bist du sicher, dass da beim Ableiten nicht das Newtonverfahren gemeint war?
Und dann eine Polynomdivision?

Euklidischer Algorithmus wäre das hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Algorithmus#Polynome

Hier musst du eigentlich nicht ableiten.

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Das ist unfaires Punktesammeln!

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Wenn man eine Antwort schreibt, dann muss da auch eine rein. Entweder eine ganze oder nur Tipps, aber sowas muss als Kommentar verfasst werden.

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Mit dem euklidischen Algorithmus lässt sich immerhin der ggT von f und seiner Ableitung bestimmen. Dessen Nullstellen müssen mindestens doppelte Nullstellen von f sein, daher könnte nun die Polynomdivision f(x):(ggT(f(x),f'(x)))^2 folgen.

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Wenn du den euklidischen Algorithmus auf \(f\) und \(f'\) anwendest, solltest du auf das Ergebnis \(\boxed{\operatorname{ggT}(f,f')=x^2+3x+2}\) kommen. Damit kannst du die Nullstellen von \(f\) bestimmen.

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hh189. Aha. Danke. So macht das tatsächlich Sinn.

Answer 1

Teste alle Teiler von 4, also x=±1, ±2 und ±4 in der ursprünglichen Gleichung.

Welche geben 0? Ich nenne sie mal a, b und c.

Und nun schaust du meinetwegen mit dem euklidischen Algorithmus, welche Häufigkeiten diese Nullstellen haben.
Das heisst, ob sich bei sich mit beim Vergleich von f(x) und (x-a)^2 oder gar (x-a)^3 ... kein Rest ergibt.

Sobald du insgesamt die Vielfachheit 5 hast bist du fertig.

Alternative.

Multipliziere (x-a)(x-b)(x-c) aus zu p(x) = x^3 ....

und berechne dann f(x) : p(x) mittels Polynomdivision.
Dann bleibt eine quadratische Gleichung, die du mit der Formel lösen kannst.