Funktionen in Potenzreihe umschreiben

Question

1)

Schreiben Sie die Funktion \( {e}^{{-t}^{2}} \) in der Form einer Potenzreihe.

2)

Schreiben Sie die Funktion  $$ F(x)=\int_{0}^{x}{e}^{{-t}^{2}}dt $$ in der Form einer Potenzreihe.

Comments

Bei der 2) soll folgendes angewendet werden:

Für jedes \( n ∈ ℕ \) sei \( {f}_{n} : [a, b] → ℝ \) eine stetige Funktion. Wenn \( ({f}_{n}){}_{n\in ℕ} \) gleichmäßig gegen eine Funktion \(f\) konvergiert, dann gilt: $$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \int _{ a }^{ b }{ { f }_{ n }(x)dx= }  } \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } . $$

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Erst mal zur 1): Kennst du die Reihendarstellung der Exponentialfunktion? Dort musst du einfach \( -t^2\) einsetzen.

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Nein, leider nicht :(

Answer 1

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! ....=

 $$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n! }  } $$

und jetzt einfach für x einsetzen -t^2 gibt $$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { ({ -t }^{ 2 }) }^{ n } }{ n! } \quad = } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { ({ -t }) }^{ 2n } }{ n! } \quad \quad  }$$

Comments

Vielen vielen Dank.

Heißt dass, das bei der 2) dann Substituiert werden muss? Das Integral ist ja beschränkt. Oder muss die Formel erst abgeleitet, und dann umgewandelt werden?