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Hallo könnt ihr mir bitte helfen was ich hier tun soll

Luke befindet sich mit deinem Jedi-Sternjäger derzeit(Sternzeit t=0) auf dem Wüstenplaneten Tatooine am Ort mit den Koordinaten Vektor: s(0) = (-15 | 7 | 11 )  Er möchte in zwei Stunden (Sternzeit t=2) auf dem Planeten Naboo eintreffen, um dort seine Schwester Leia wieder zu sehen.  Gemeinsam wollen sie versuchen, den Krieg der  Sterne zuverhindern. Luke ortet den Planeten Naboo auf der Position Vektor: s(2) = ( -17 | -3 | 8  Auf dem Radarschirm sieht er, dass sich der Droiden-Sternjäger von Darth Vader derzeitam Ort Vektor : s*(0) = ( -17 | -3 | 8 ) und eine Stunde später an der Position Vektor: s*(1) = ( -16 |-1 | 10 )befindet. a) Welchen Abstand haben die beiden Raumschiffe zur Sternzeit t=0 voneinander?  b) Stellen Sie die Bahnengleichungen der beiden Sternenkrieger auf.  c) Welcher der beiden Sternjäger fliegt schneller?  d) Fliegen die Beiden Raumschiffe parallel zueinander?  e) Die Raketen des Droiden-Sternjägers reichen maximal 10 Sternenkilometer. Befindet sich Luke Skywalkerin Gefahr, wenn beide Raumschiffe ihre Flugrouten beibehalten? Berechnen Sie dazu den minimalen Abstand der beiden Antagonisten.  f) Auf der Route von Darth Vader fliegen zur Bewachung außerdem ständig weitere feindliche Sternjäger. Besteht die Gefahr, dass Luke diese Flugbahn irgendwann kreuzt, wenn er zu dem Planeten Naboo und wiederzurück fliegt?  g) Damit die Zusammenkunft mit seiner Schwester auf keinen Fall gefährdet wierd, beschließt Luke, eine Sonde zum Raumschiff von Darth Vader zu schicken, um diesen dadurch abzulenken. Mit welchem Richtungsvektor muss Luke die Sonde zur Sternzeit t=0 von der Position Vektor s(0) aus abschießen, damitsie den Droiden Sternjäger nach zwei Stunden, also zur Sternzeit t=2 erreicht?
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a) Luke:   (-15 | 7 | 11 )   vader ( -17 | -3 | 8 )
Abstand = wurzel(    (-15-(-17))^2 + (7+3)^2 +(11-8) ^2  )

Luke bei t=2 auf ( -17 | -3 | 8)
also muss er in den 2 Stunden die Strecke von (-15 | 7 | 11 ) nach  ( -17 | -3 | 8)
zurücklegen, das entspricht dem Richtungsvektor ( -17 | -3 | 8) -  (-15 | 7 | 11 )= ( -2  |  -10 | - 3 )
also ist seine Bahngleichung  g(t) = (-15 | 7 | 11 ) + t * ( -1  |  -5 | - 1,5 )

vader  bei t=1 auf ( -16 |-1 | 10 ) also Richtungsvektor  ( -16 |-1 | 10 ) -  ( -17 | -3 | 8 )= ( 1 | 2 | 2 )
seine Bahn s*(t) = ( -17 | -3 | 8 ) + t * ( 1 | 2 | 2 )

usw.
von 228 k 🚀
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Hi,
bei der Aufgabe muss man zuerst mal annehmen, dass die Koordinaten in einem gemeinsamen globalen Sternenkoordinatensystem gegeben sind und nicht etwa auf eine Planeten bezogen. Gegeben sind folgende Koordinaten

\( s_0 = \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix}  \) und \( s_2 = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} \) sowie


\( s^{\star}_0 = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} \) und \( s^{\star}_1 = \begin{pmatrix} -16 \\ -1 \\ 10 \end{pmatrix} \)

zu (a)
\( \left| s_0 - s^{\star}_0  \right| = \sqrt{ (-15+17)^2+(7+3)^2+(11-8)^2 } = \sqrt{2^2 + 10^2 + 9} = \sqrt{113} \)

zu (b)
Bei den Bahngleichungen geht man davon aus, dass die Bewegung der Sternenjäger auf Geraden erfolgt. Eine Gerade ist definiert durch einen Aufpunkt und ein vielfaches der Richtung, also ergibt sich die Bahngleichung von Luke zu \( f(t) = s_0 + \frac{t}{2}(s_1 - s_0) = \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} + \frac{t}{2} \left[ \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -15 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} + \frac{t}{2} \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ -3 \end{pmatrix} \)
Die Bahn von Darth Vader berechnet sich genauso, also \( g(t) =  s^{\star}_0 + t(s^{\star}_1 - s^{\star}_0) = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} + t\left[ \begin{pmatrix} -16 \\ -1 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} \right]  = \begin{pmatrix} -17 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \)

zu (c)
Luke fliegt in 2 Sternenstunden \( \left| s_2 - s_0 \right| = \sqrt{113} \) Sternenkilometer, also hat er ein Geschwindigkeit von \( v = \frac{\left| s_2 - s_0 \right|}{2} = \frac{\sqrt{113}}{2} = 5.315 \) und Darth Vader fliegt in einer Sternenstunden

\( \left| s^{\star}_1 - s^{\star}_0 \right| = \sqrt{ (-16+17)^2 + (-1+3)^2 +(10-8)^2  } = 3 \)
also fliegt Luke schneller

zu (d)
Wenn die Raumschiffe parallel fliegen sollten, müssen die Richtungsvektoren der Bahgleichungen linear abhängig sein, d.h. es muss für das folgende Gleichungssystem eine Lösung für \(  \lambda \) existieren,, s.d. \( s_2 - s_0 = \lambda ( s^{\star}_1 -s^{\star}_1 )  \) gilt. Die Werte eingesetzt ergibt \( \begin{pmatrix} -2 \\-10\\-3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\2\\2 \end{pmatrix} \) Wie man sieht, gibt einen einzigen solchen Wert für \( \lambda \) nicht. Aus der ersten Gleichung folgt \( \lambda = -2 \) und aus der zweiten Gleichung folgt \( \lambda = -5 \) Also sind die Bahnen nicht parallel.

zu (e)
Der Abstand der Bahnen der Raumschiffe berechnet sich zu \( d(t) = \left| f(t) - g(t) \right| = \sqrt{ (2-2t)^2 + (10-7t)^2 +\left(3-\frac{7}{2}t\right)^2 } \). D.h. man muss die Funktion \( d(t) \) minimieren. Also löst man die Gleichung \( \frac{d}{dt}d(t) = 0  \) nach \( t \) auf. Es gilt \( \frac{d}{dt}d(t) = \frac{261t - 338}{2 \sqrt{ 261t^2 - 676t +452  }} \) Die Lösung der Gleichung ist \( t = \frac{338}{261} = 1.295 \) Damit können die Raketen von Darth Vader das Raumschiff von Luke erreichen.

zu (f)
Hier ist die Frage, ob die Bahnen von Luke und Darth Vader einen Schnittpunkt haben, unabhängig von der Zeit, wann die Sternenjäger starten. D.h. man muss das folgende Gleichungssystem lösen
\( s_0 + \lambda (s_2 - s_0 ) = s^{\star}_1 + \mu \left( s^{\star}_1 - s^{\star}_0 \right)   \) Das ergibt folgendes
\( \begin{pmatrix} -\lambda -15\\7 - 5\lambda\\11-\frac{3}{2}\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu-17\\2\mu -3\\2\mu +8 \end{pmatrix} \) Die Lösungen sind \( \lambda = 2 \) und \( \mu = 0 \)
D.h. der einzige Schnittpunkt der Sternenjägerbahnen liegt auf dem Planeten Naboo.

zu (g)
Hier gilt für den zu suchenden Richtungsvektor\( r \) folgende Gleichung
\( s_0 + r = g(2) \) also \(  r = \begin{pmatrix} -15\\7\\11 \end{pmatrix} + r = \begin{pmatrix} -15\\1\\12 \end{pmatrix}  \)
Also gilt \(  r = \begin{pmatrix} 0\\-6\\1 \end{pmatrix} \)

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