0 Daumen
4,4k Aufrufe

Ich sitze gerade seit geraumer zeit an einer matheaufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar fa(x) = -x3 + ax2 - x - ax (a ∈ ℝ)

a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.

b) Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und die zugehörige Ortskurve.


für meine facharbeit und komme nicht damit klar! Hoffe jemand kann mir helfen? DANKE IM Voraus!

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

fa(x) = - x^3 + a·x^2 - x - a·x

a)

fa(x) = fb(x)

- x^3 + a·x^2 - x - a·x = - x^3 + b·x^2 - x - b·x

x = 1 ∨ x = 0

b)

fa''(x) = 2·a - 6·x = 0

x = a/3

fa(a/3) = - (a/3)^3 + a·(a/3)^2 - (a/3) - a·(a/3) = 2·a^3/27 - a^2/3 - a/3

Ortskurve

2·a - 6·x = 0

a = 3·x

f(x) = - x^3 + (3·x)·x^2 - x - (3·x)·x = 2·x^3 - 3·x^2 - x

Avatar von 477 k 🚀

Was bedeutet denn diese Schreibweise (a/3)?? Dnke für dieAntwort, gut nachvollziehbar!

a/3 = a durch 3

Aha! Also schreibe ich das im Heft als Bruch?

0 Daumen

f ( x ) = -x^3 + ax^2 - x - ax

Gemeinsame Punkte
f ( x ) = x * ( -x^2 + ax - 1 - a )
Für x = 0 ist der Funktionswert für alle a stets 0.
Ansonsten
-x^3 + a1*x^2 - x - a1x = -x^3 + a2*x^2 - x - a2*x

a1*x^2 - a1*x = a2*x^2 - a2*x
a1 * ( x^2 - x ) = a2 * ( x^2 - x )
x^2 - x = 0
x * ( x - 1 ) = 0
x = 0
x -1 = 0
x = 1

Jetzt noch
f ( 1 ) = -1^3 + a*^2 - 1 - a*1
f ( 1 ) = -1 -1 - a^2 - a = -2 - a^2 - a
( 1  | -2 - a^2 - a )
( 0  | -1 )

Wendepunkte
f ´( x ) = -3*x^2 + 2ax - 1 - a
f ´( x ) = -6*x + 2a
-6*x + 2a = 0
6x = 2a
x = a / 3
f ( a / 3 )  = 2*a^3 27 - a^2 / 3 - a / 3

Ortskurve
x = a / 3  => a = 3 * x
y = 2*a^3 27 - a^2 / 3 - a / 3
ort ( x ) = 2*(3*x)^3 27 - (3*x)^2 / 3 - (3*x) / 3

Ein bißchen Zusammenfassen / Kürzen bleibt dir noch.

mfg Georg

Avatar von 122 k 🚀
Wie so schnell! Beeindruckend! Ich kann das grundsätzlich nachvollziehen, jedoch verstehe ich nicht so ganz was ich noch kürzen müsste oder zusammenfassen?:-) Tschuldigung für die Begriffsstutzigkeit!

Und was bedeuten die Querstriche zwischen den Zahlen wie zB bei a/3? :-)

a / 3 = ( a durch 3 ) oder ( a geteilt 3 )
Mit Hoch- Tiefgestellt a / 3 .
Der Schrägstrich wird im allgemeinen so genutzt.

Ein kleiner Fehler war vorhanden
Anstelle
ort ( x ) = 2*(3*x)3 27 - (3*x)2 / 3 - (3*x) / 3
muß es heißen
ort ( x ) = 2*(3*x)3 / 27 - (3*x)2 / 3 - (3*x) / 3

Kürzen
ort ( x ) = 2* x3  - 3*x2  - x

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community