Wie viele Radiergummi sollte die Firma pro Tag herstellen um einen möglichst grossen Gewinn zu machen

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Aufgabe:

Eine Firma stellt Radiergummi her. Die Produktionsmaschinen können pro Tag maximal 10’000 Stück herstellen. Die Produktionskosten K(x) für x Mengeneinheiten zu 1’000 Stück lassen sich mit folgender Formel berechnen:

K(x) = 2x3 - 18x2 + 60x + 32

Ein Paket zu 1000 Radiergummis wird an Papeterien für 50 Euro verkauft. Wie viele Radiergummi sollte die Firma pro Tag herstellen um einen möglichst grossen Gewinn zu machen. Es kann davon ausgegangen werden, dass alle produzierten Gummis auch wirklich verkauft werden.

Lösung:

Es sollten 5708 Stück produziert werden.
Ansatz: Gewinn = Verkaufserlös - Produktionskosten = max.

ich bitte darum mir den Rechenweg zu erklären, was man machen muss, um auf die lösung zu kommen danke !!!

Gefragt 12 Sep 2012 von Gast ic8377

x Pakete zu 1000 Radiergummis. Produktionsbedingung: x ≤ 10

Gewinn = Verkaufserlös - Produktionskosten = max

Gewinn = 50x - FORMEL = max

Ohne diese FORMEL kann ich hier nichts machen.

Die Formel wird nicht angezeigt. Wo ist sie? Wie lautet sie?

Hi Lu, wie ich gerade gesehen habe, ist die Aufgabe aus dem Netz kopiert.

Ich habe die entsprechende Formel gefunden und oben ergänzt.
Danke. Jetzt ist sie ja bereits doppelt vorhanden und gelöst.

Hinweis von Akelei aus der doppelten, jetzt gelöschten Frage:

Wenn die Kosten möglichst klein sind, ist der Gewinn am Größten. Also muss man anhand der Funktion eine Extremwertbestimmung durchführen, d. h. herausfinden, an welcher Stelle ein Minimum vorliegt. Erste und zweite Ableitung bilden und in den Bedingungen hierfür nachschauen, ob ein, und wenn ja, welcher Extremwert vorliegt (siehe auch Kurvendiskussion bzw. Kurvenuntersuchung).

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Der Verkaufserlös V entspricht:

V(x) = 50*x

Die Produktionskosten K sind gegeben und lauten:

K(x) = 2x3 - 18x2 + 60x + 32

 

Der Gewinn G lautet demnach:

G(x) = V(x) - K(x) = 50x - (2x3 - 18x2 + 60x + 32)

G(x) = -2x3 + 18x2 - 10x + 32

 

An einem Maximum gilt G'(x) = 0:

G'(x) = -6x2+ 36x - 10

0 = -6*(x2-6x+5/3)

0 = x2-6x+10/6

 

Lösung zum Beispiel mit der pq-Formel:

x1/2 = 3 ± √(9-10/6) = 3± √(22/3)

x1 ≈ 5,70801

x2 ≈ 0,29199

 

Setzt man beide Werte ein, so erhält man:

f(x1) ≈ 189,4

f(x2) ≈ 30,6

 

Das Maximum liegt also bei x1 ≈ 5,70801

Da nur ganze Radiergummis produziert werden können, müssen also 5708 Radiergummis produziert werden.

Beantwortet 12 Sep 2012 von Julian Mi 10 k
Julian Sie sind einfach nur GENIAL .. DANKE VIELMALS .. ich wär Ihnen auch dankbar , falls ich in Zukunft weitere mathematischen Problem haben sollte , mich an Ihnen wenden kann , sie Mathegenie .. ;)

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