Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene in Parameterform und Normalenform her. (Gefaltetes DIN-A4-Papier)

Question

Aufgabe:

Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der $x_{1}-x_{2}$-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte $O(0|0| 0), A(\sqrt{2}|0| 0), B(\sqrt{2}|1| 0)$ und $C(0|1| 0)$ sowie der Punkt $D(1|1| 0)$.

Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke $\overline{O D}$ gefaltet. Das Dreieck ODC bleibt dabei fest, während das Viereck $O A B D$ in das Viereck $O A^{\prime} B^{\prime} D$ übergeht, das wieder in der $x_{1}-x_{2}$-Ebene liegt.

Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Zur Veranschaulichung kann das als Seite beigefügte DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

b) Die Ecke des Blattes, die durch das Falten aus der Position $A$ in die Position $A^{\prime}$ gebracht wird, bewegt sich bei dem Faltvorgang auf einem Halbkreis in einer Ebene $E$ (siehe Abbildungen 1 bis 4 ).

(1) Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene $E$ in Parameterform und in Normalenform her.

Zur Kontrolle eine Koordinatengleichung: $E: x_{1}+x_{2}=\sqrt{2}$

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nicht, wie man auf den Richtungsvektor kommt.

Answer 1

Der Vektor OD ist doch die Drehachse und damit der Normalenvektor der Ebene. Braucht mal also noch einen Punkt. Da wäre doch der Punkt A fast perfekt.

X * OD = A * OD

[x, y, z] * [1, 1, 0] = [√2, 0, 0] * [1, 1, 0]

x + y = √2

Comments

S = 1/2 * (A + A')

S = 1/2 * ([√2, 0, 0] + [0, √2, 0]) = [√2/2, √2/2, 0]

SA = A - S = [√2, 0, 0] - [√2/2, √2/2, 0] = [√2/2, - √2/2, 0]

|SA| = 1

X = S + r * SA + s * SA*

X = [√2/2, √2/2, 0] + r * [√2/2, - √2/2, 0] + s * [0, 0, 1]

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Der Halbkreis soll doch die Ebene sein oder? Oder habe ich was falsch verstanden? Wieso kommt man dann darauf den  Vektor OD als Normalenvektor zu nehmen?

Ein Normalenvektor steht doch senkrecht auf einer Ebene. Wie kann es dann möglich sein, OD als normalenvektor zu nehmen? OD liegt doch unte dem Halbkreis nicht auf dem Halbkrei?

Oder habe ich irgendowo einen Denkfehler?

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OD ist doch die Drehachse und damit Senkrecht zur Ebene.

OD geht zwar durch die Ebene durch steht aber senkrecht zur Ebene.

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Ist mit der Ebene der Kreis gemeint?

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Der Kreis liegt doch in der Ebene.

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Habe ich es also richtig verstanden der Halbkreis ist die Ebene und weil da unten durch auch die Gerade geht ist sie senkrecht zum Halbkreis? Also ich meine dieses Kreuz. Die ebene steht ja und unter der ebene geht ja über kreuz due gerade und das nennt man auch senkrecht?

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Senkrecht heißt im rechten Winkel und nicht immer von oben nach unten.

Machmal sagt man senkrecht, wenn etwas von oben nach unten verläuft. Das wäre dann senkrecht zum Erdboden.

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Ja ok jetzt habe ich es glaube ich verstanden. Du hast ja die Parameterdarstellung angegeben. Wie kommst du auf die Punkte? Weil sie in der Ebene liegen? Würd das gleiche rauskommen, wenn ich A' als Ortsvektor nehmen würde?

Und in der Aufgabe steht ja noch Normalenform, ist damit die Hessesche Normalenform gemeint?

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Nein!

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Die Hessesche Normalenform ist eine Normalenform. Du brauchst hier aber nicht teilen sodass der Normalenvektor nicht unbedingt die Länge 1 haben muss.

[x, y, z] * [1, 1, 0] = [√2, 0, 0] * [1, 1, 0]

[x, y, z] * [1, 1, 0] - [√2, 0, 0] * [1, 1, 0] = 0

([x, y, z] - [√2, 0, 0]) * [1, 1, 0] = 0