Integralrechnung: f(t) = 0.1e-0.1t gibt Zuflussrate in Ölbehälter an.

Question

 

Ich sitze gerade an dieser Aufgabe(eine Übungsaufgabe),

Aufgabe - Ein Behälter enthält zu Beginn (t = 0) 2 cm³ Öl. Für t > 0 wird in einer Zuleitung Öl zugeführt. Für die momentane Zuflussrate f gilt \(f(t)=0,1e^{-01,t}\) (t in Minuten, f(t) in cm³).

a) Zeigen Sie, dass die Ölmenge dauernd zunimmt.

b) Bestimmen sie eine Funktion g, die die Ölmenge im Behälter für t > 0 in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Untersuchen Sie, wie groß die Ölmenge werden kann.

c) Wie groß ist die mittlere Zuflussrate der Ölmenge im Behälter während der ersten zehn Minuten?

Answer 1

a) f(t) = 0.1·e^{- 0.1·t} > 0

b) g(t) = - e^{- 0.1·t} + c

g(0) = - e^{- 0.1·0} + c = 2 --> c = 3

g(t) = 3 - e^{- 0.1·t}

c)

(g(10) - g(0))/(10 - 0) = (2.632 - 2) / (10 - 0) = 0.0632

Comments

Dankeschön für die Antwort könnten Sie mir vielleicht nur kurz erklären was sie gerechnet haben in den Schritten?

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Beschäftige dich mal mit den Antworten und erkläre was du nicht verstehst.

g(t) ist übrigens die Stammfunktion zu f(t).

Answer 2

Damit du den Sachverhalt erst einmal verstehst.
Hier die Skizze der Zuflußrate f.
Der Zufluß ist zunächst groß und nimmt dann ab.

Hier die Skizze der insgesamt zugeflossenen Menge
∫ f ( x ) dx
Da der Zufluß immer geringer wird wird eine Sättigung eintreten.

Bei Fragen wieder melden oder wenn es weitergehen soll.

mfg Georg

Comments

Super dankeschön! Jetzt habe ich den Sachverhalt überhaupt erstmal verstanden:-) Leider verstehe ich nicht wie man zeigt dass etwas zunimmt wie bei a gefragt in. Auch der Rest der Aufgabe macht mir zu schaffen.

Ich habe mich mit Ihren Antworten bezüglich der anderen Aufgaben beschäftigt und sie sind super nachvollziehbar, habe es verstandne und bei einer anderen Aufgabe anwenden können!! Großes Lob! Meine Lehrer schaffen das nicht mal im Unterricht...

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Die Zuflußrate ist
f ( t ) = 0.1 * e^-0.1t  [ in cm³ pro min ]
( Die in der Aufgabe angegeben Einheit cm³ ist falsch )

a.) Der Graph der Zuflußrate ist stets oberhalb der x-Achse
also stets positiv. Es fließt immer etwas zu.

Die Stammfunktion der Zuflußmenge ist
∫ zuflußrate dt

∫ 0.1 * e^-0.1t dt
0.1 * e^-0.1t * (-0.1)
-0.01 * e^-0.1t

Zuflußmenge in einem Zeitraum ( von 0 an gerechnet )
[ -0.01 * e^-0.1t ]₀^t
-0.01 * e^-0.1t - ( -0.01 * e⁰ )
-0.01 * e^-0.1t - ( -0.01 * 1 )
-0.01 * e^-0.1t + 0.99
0.99 - 0.01 * e^-0.1t

Da bereits 2 cm³ vorhanden sind ist die Gesamtmenge
2 + 0.99 - 0.01 * e^-0.1t

g ( x ) = 2.99 - 0.01 * e^-0.1t

Größtmögliche Menge
lim t −> ∞ [ 2.99 - 0.01 * e^-0.1t ] = 2.99

( Die e-Funktion geht für e^-∞ gegen 0 )

c.)
mittlere Zuflussrate
f ( 10 ) - f ( 0 )
oder
[ g ( 10 ) - g ( 0 ) ] / 10

Bemerkung : die Mengen und Einheiten kommen mir alle komisch vor.
Bei 0 Minuten ist die Füllung 2 cm³. Dies sind 2 Fingerhüte Volumen .
Die Gesamtmenge sind  2.99 cm³. Also 3 Fingerhüte.

Irgendwie oder -wo stimmt hier etwas nicht.

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Der Fehler lag bei mir
anstelle die Funktion aufzuleiten habe ich abgeleitet.
Also anstelle

∫ 0.1 * e^-0.1t dt
0.1 * e^-0.1t * (-0.1)

muß es heißen

∫ 0.1 * e^-0.1t dt
- e^-0.1t

Das Grundgerüst der Berechnungen ist aber ok.
Willst du selbst einmal versuchen den Fehler zu korrigieren ?
Bei Bedarf helfe ich weiter.

mfg Georg

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Hier die Berechnung mit einem Computerprogramm

Die erste blaue Zeile ist die Funktion
2. die Stammfunktion
3. Ölmenge bis zum Zeitpunkt t
4. die maximale Ölmenge ( t = unendlich )
5. mittlere Zuflußrate über f
6. mittlere Zuflussrate über g
( woher der kleine Unterschied kommt müßte noch geklärt werden )
( Ebenso fehlt noch der wasserdichte Nachweis von a.
Nachtrag : Ist einfach : die e-Funktion ist stets positiv, also auch f )

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Solltest du dich in Mathe verbessern wollen kannst du dies auf

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Dort gibt es Abituraufgaben ( Grund - und Leistungskurs ), die
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c.) bezüglich der mittleren Zuflußrate

0.0632 ist richtig