Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion
f : x↦x−2+2e−0,5x mit x∈R
Ihr Graph ist Gf.
1a) Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) für ∣x∣→∞.
1b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f anhand der 1. Ableitung.
1c) Gf hat genau einen Extrempunkt. Geben Sie Art und Lage des Extrempunktes an.
1d) Zeigen Sie, dass die Gerade y=x−2 Asymptote des Graphen Gf ist.
1e) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen Gf. Tragen Sie darin auch die Asymptote y=x−2 ein.
2. Die Gerade y=a mit a≥2 schließt mit dem Graphen Gf, der Geraden y=x−2 und der x-Achse eine Figur mit dem Flächeninhalt A ein.
2a) Ergänzen Sie die in 1e) angelegte Skizze entsprechend.
2b) Berechnen Sie A in Abhängigkeit von a.
2c) Hat A für a→∞ einen Grenzwert?
Begründung durch Rechnung.