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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f : xx2+2e0,5x \mathrm{f}: \mathrm{x} \mapsto \mathrm{x}-2+2 \mathrm{e}^{-0,5 \mathrm{x}} mit xR \mathrm{x} \in \mathbb{R}
Ihr Graph ist Gf \mathrm{G}_{\mathrm{f}} .

1a) Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) \mathrm{f}(\mathrm{x}) für x |\mathrm{x}| \rightarrow \infty .

1b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f \mathrm{f} anhand der 1. 1 . Ableitung.

1c) Gf \mathrm{G}_{\mathrm{f}} hat genau einen Extrempunkt. Geben Sie Art und Lage des Extrempunktes an.

1d) Zeigen Sie, dass die Gerade y=x2 \mathrm{y}=\mathrm{x}-2 Asymptote des Graphen Gf \mathrm{G}_{\mathrm{f}} ist.

1e) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen Gf \mathrm{G}_{\mathrm{f}} . Tragen Sie darin auch die Asymptote y=x2 \mathrm{y}=\mathrm{x}-2 ein.

2. Die Gerade y=a \mathrm{y}=\mathrm{a} mit a2 \mathrm{a} \geq 2 schließt mit dem Graphen Gf \mathrm{G}_{\mathrm{f}} , der Geraden y=x2 y=x-2 und der x x -Achse eine Figur mit dem Flächeninhalt A ein.

2a) Ergänzen Sie die in 1e) angelegte Skizze entsprechend.

2b) Berechnen Sie A in Abhängigkeit von a.

2c) Hat A für a a \rightarrow \infty einen Grenzwert?

Begründung durch Rechnung.

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1 Antwort

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Was verstehst du denn nicht ?

f(x) = 2·e- 0.5·x + x - 2

Gerade aus der Skizze sollten doch schon fast alle Antworten ablesbar sein.

Bild Mathematik

1 a)

Was passiert wenn du sehr kleine oder sehr große Zahlen in die Funktion einsetzt.

lim (x → -∞) 2·e- 0.5·x + x - 2 = ∞

lim (x → ∞) 2·e- 0.5·x + x - 2 = ∞

Wenn du sehr kleine Werte oder sehr große Werte einsetzt kommen ganz große Werte heraus.

Am Graphen zu erkennen weil er aus dem 2. Quadranten in den 1. Quadraten verläuft.

1 b)

f'(x) = 1 - e- x/2

Wo ist das jetzt <= 0 oder >= 0

f'(x) = 1 - e- x/2 >= 0 → x >= 0 für x >=0 ist die Funktion streng monoton steigend. Für x <= 0 ist sie streng monoton fallend.

2 b)

∫ (0 bis 2) (2·e- 0.5·x + x - 2) dx + ∫ (2 bis a) (2·e- 0.5·x) dx = 2 - 4·e- 0.5·a

2 c)

Man hat für a → ∞ einen Grenzwert, weil

2 - 4·e- 0.5·a für a → ∞ ergibt den Wert 2.

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