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Anwendungsaufgabe zu ganzrationalen Funktionen:

Eine Seilbahn verbindet die Talstation T(0|0) mit der Bergstation B(500|100). Das zwischen T und B durchhängende Seil kann durch die Graphen der Funktionenschar \( f_{t} \) mit \( f_{t}(x) = x^3 + (0,2 - 500t) x \) beschrieben werden.

a) Welche Werte kommen für den Parameter t in Frage?

b) Bei welcher Form des Seils kommt das Seil unter dem Winkel 45° in der Bergstation an? Unter welchem Winkel verlässt in diesem Fall das Seil die Talstation?

c) Zeichnet man die Gerade zwischen Tal- und Bergstation, so versteht man unter dem "Durchgang" des Seils an einer Stell x die Differenz zwischen den Funktionswerte (...) Geraden und der Parabel an dieser Stelle. An welcher Stelle ist der Durchgang am geringsten?

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f t (x) = t*x^2 + ( 0,2 - 500t) * x

f t ' (x) = 2t*x   - 500t     Winkel von 45° bei x= 500 heißt     f t ' (500) =  1
    f t ' (500) = 2t*500   - 500t  = 500t 
Also für t=1/500    ist der Winkel an der Bergst. 45°.

Dann ist bei der Talstation f t ' (0) = 2*1/500*0   - 500* 1 / 500 =  -1   also  45° Gefälle.
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