f(x) konvex und Riemann-integrierbar in [a,b]. Zeige die Ungleichungen für jedes x∈[a,b]

Question

Ich soll folgende Ungleichungen beweisen:

Sei f:[a,b]→ℝ konvex. Riemann-Integrierbarkeit von f kann als bekann vorausgesetz werden.

a) $$2 f \left( \frac { a + b } { 2 } \right) \leq f ( x ) + f ( a + b - x )$$

b) $$f ( x ) \leq \frac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } ( x - a ) + f ( a )$$

 

Ich weiß nicht, wie ich da heran gehen soll und vor allem was die Konvexität damit zu tun hat bzw. wie man die mit einbringen muss/kann?

Comments

Vielleicht helfen dir die Skizzen zu konvexen Funktionen weiter.

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Funktion

Ich vermute, bei deinen Ungleichungen wird zum Beispiel der Funktionswert zwischen a und b mit dem Wert auf der Sekante durch (a,f(a)) und (b,f(b)) verglichen. Resp. bestimmte Flächen unter Kurve vs. unter Sekante.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung zu Konvexität

Zunächst ist es wichtig zu verstehen, was eine konvexe Funktion ist. Eine Funktion $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ ist konvex, wenn für jedes Paar von Punkten $x_1, x_2 \in [a, b]$ und für jedes $\lambda \in [0, 1]$ gilt, dass
$f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2).$

Diese Eigenschaft spiegelt die Idee wider, dass die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten auf der Kurve niemals unter der Kurve liegt. Konvexität wird bei der Beweisführung der Ungleichungen eine zentrale Rolle spielen.

Teil a) Beweis

Um $2 f \left( \frac { a + b } { 2 } \right) \leq f ( x ) + f ( a + b - x )$ zu beweisen, nutzen wir direkt die Definition der Konvexität.

Setze $x_1 = x$, $x_2 = a + b - x$, und $\lambda = \frac{1}{2}$, da wir den Mittelpunkt und die Symmetrie im Intervall betrachten. Beachte, dass $x_1 + x_2 = x + (a + b - x) = a + b$, was bedeutet, dass der Mittelwert von $x_1$ und $x_2$ gleich $\frac{a + b}{2}$ ist, was dem $\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2$ entspricht, wenn $\lambda = \frac{1}{2}$.

Nun, durch direktes Anwenden der Konvexitätsdefinition:
$f\left( \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (a + b - x) \right) \leq \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(a + b - x),$
vereinfacht sich zu
$f\left( \frac{a + b}{2} \right) \leq \frac{1}{2} \left[ f(x) + f(a + b - x) \right].$
Multiplizieren beider Seiten mit 2 ergibt die gewünschte Ungleichung:
$2 f \left( \frac{a + b}{2} \right) \leq f(x) + f(a + b - x).$

Teil b) Beweis

Für den zweiten Teil nutzen wir die lineare Interpolation und die Eigenschaft der Konvexität, um zu zeigen, dass
$f(x) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) + f(a).$

Wir betrachten zwei Punkte, $a$ und $b$, auf der Kurve der Funktion $f$. Für einen beliebigen Punkt $x \in [a, b]$, können wir $\lambda \in [0, 1]$ so wählen, dass $x = \lambda b + (1 - \lambda) a$.

Durch Umstellen erhalten wir $\lambda = \frac{x - a}{b - a}$. Die Konvexität von $f$ impliziert, dass
$f(x) = f\left(\lambda b + (1 - \lambda) a\right) \leq \lambda f(b) + (1 - \lambda) f(a).$
Ersetze $\lambda$ durch den oben berechneten Wert:
$f(x) \leq \frac{x - a}{b - a} f(b) + \left(1 - \frac{x - a}{b - a}\right) f(a) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) + f(a).$

Somit haben wir gezeigt, dass die Konvexität von $f$ die genannten Ungleichungen impliziert. Konvexe Funktionen sind also in ihrer eigenen Weise "eingeschränkt", indem ihr Wachstum in einem Intervall nicht "schneller" sein kann als das durch die Endpunkte ihres Definitionsbereichs definierte lineare Wachstum.

Comments

Konvexe Funktionen sind also in ihrer eigenen Weise "eingeschränkt", indem ihr Wachstum in einem Intervall nicht "schneller" sein kann als das durch die Endpunkte ihres Definitionsbereichs definierte lineare Wachstum.

Was für ein Haufen Käse.

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Danke für deinen Hinweis.

Wir sind in der KI-Testphase. Welche konkreten Änderungen sind aus deiner Sicht notwendig, sodass die Antwort stimmt? Ist es nur der letzte Satz, der unstimmig ist?