v1,v2 lin. unabhängig f lin. abbildung, f(v1) und f(v2) lin. unabhängig?

Question

Sei v1,v2 linear unabhängig und f eine lineare Abbildung sind dann auch f(v1) und f(v2) linear unabhängig?
Dachte eigentlich ja denn: a,b aus K so ist f(a*v1+b*v2)=a*f(v1)+b*f(v2) oder?

Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Nein (betrachte z.B. die Abbildung, die alles auf 0 abbildet).

Comments

mhm ja hatte i.wie so eine Befürchtung naja kann man in der Klausur jetzt auch nicht mehr ändern trotzdem Danke

---

Es gilt aber folgendes: Wenn $v_1,...,v_n$ linear abhängig sind, dann sind auch $f(v_1),...,f(v_n)$ linear abhängig.
Und: Wenn $f(v_1),...,f(v_n)$ linear unabhängig sind, dann sind auch $v_1,...,v_n$ linear unabhängig.

Ist $f$ zusätzlich noch injektiv, dann gilt auch deine Aussage aus der Frage: Sind $v_1,...,v_n$ linear unabhängig, dann sind auch $f(v_1),...,f(v_n)$ linear unabhängig.