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f(x) = x3-3x+2

1 Symmetrie, 2 Schnittpunkte, 3 Extrempunkte, 4 Wendepunkte


Kann mir vielleicht jemand die Aufgabe lösen, Bitte :)

von

5 Antworten

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Symmetrie

Punktsymmetrie

-f(x)=f(-x)

Achsensymmetrie

f(x)=f(-x)


Ableitungen:

f(x) = x3-3x+2

f'(x)=3x²-3

f''(x)=6x

f'''(x)=6

Nullstellen 

f(x)=0

0 = x3-3x+2

Polynomdivision: 1.Nullstelle raten --> 1|0 

(x³+0x²-3x+2):(x-1)=... weiter Funktion die leichter nach x aufzulösen ist ( da x²)

und -2|0

Schnittpunkte mit der y-Achse:

x=0 setzen

-->

f(x)=2

f'(x)=-3

f''(x)=0

f'''(x)=6

2.Extrempunkte

f'(x)=0 setzen

0=3x²-3 |+3

3=3x² |:3

1=x² |√

±1=x 

In f(x) einsetzen um herauszufinden an welcher y-Koordinate 

Ex1(1|0)  Ex2=(-1|4)

Hoch-oder Tiefpunkt ? x-Wert in f''(x) einsetzen--> wert<0 HP wert>0 TP

Wendepunkte:

f''(x)=0 setzen

0=6x |:6

0=x 

in f(x) =2

Wendepunkt bei (0|2)

Links Rechts oder Rechts Links WP? 

In f'''(x) einsetzen --> Wert größer Null: Rechts Links Wendepunkt liegt vor

Bei Fragen gerne Rückmeldung, kannst ja deine Werte in die Kommentare schreiben

Luis

von 2,0 k
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(1) Symmetrie:

Entweder ist unsere Funktion punkt-, achsen- , oder unsymmetrisch.
Müssen das nun überprüfen:

Die Funktion ist offensichtlich unsymmetrisch. Ich erkläre das gleich einfachhalber, da sowohl gerade als auch ungerade Potenzen in der Funktion vorkommen: x^3-3x^1+2x^0.

Achsensymmetrie: Alle Potenzen in der Funktion sind gerade.
Punktsymmetrie: Alle Potenzen in der Funktion sind ungerade.


(2) Schnittpunkte:


x-Achse: Setzen f(x)=0

x^3-3x+2=0   


Hier ist es etwas umständlich die Nullstellen zu bestimmt, wir gehen folgerndermaßen vor.

(a) Erraten eine offensichtliche Nullstelle: Eine ist z.b. bei x1=1

(b) Wenden nun Polynomdivision an: x^3-3x+2: (x-1) =  x²-2x-2     (Habe gleich das Ergebnis hingeschrieben,

hoffe, du weißt, wie es funktioniert ;) )

(c) p-q-Formel anwenden( Kannst du bestimmt auch :) ):  x2= -√3 +1                                                                                                                                                                                   x3=√3 +1

P1(1,0) P2(-√3 +1   ,0) P3(√3 +1   ,0)


y-Achse: Setzen f(0)

Erhalten : y=2

P(0, 2)


(3) Extrempunkte:

f´(x)=0 (Die 1. Ableitung gleich 0 setzen)

3x^2-3=0      |+3

3x^2=3     | :3

x^2=1


x1= -1 , x2=1           Das sind unsere beiden Extremstellen.

Müssen jetzt noch den y-Wert berechnen (brauchen dafür die Ausgangsgleichung!!!):

f(-1)= 4

f(1)= 0

Unsere beiden Extrempunkte sind: P1(-1,4) und P2(1,0).

Um die Art der Extrempunkte zu bestimmen, musst du noch die 2. Ableitung bilden und die errechneten Extremwerte in diese einsetzen. Ist das Ergebnis >0 , dann haben wir einen Tiefpunkt  oder <0, dann haben wir einen Hochpunkt. Ist das Ergebnis =0 , dann haben wir keinen Extrempunkt.


(4) Wendepunkte:

f´´(x)=0 (Die 2. Ableitung gleich 0 setzen)

Die Nullstellen bestimmen!

Diese wieder in Ausgangsgleichung einsetzen, um y- Werte zu bestimmen.

Damit haben wir unsere Wendepunkte.

3. Ableitung bilden und diese muss ungleich 0 sein. Denn nur dann exisiteren diese Wendepunkte!

von
0 Daumen

Du kannst dir leicht eine Kurvendiskussion machen lassen unter

http://funktion.onlinemathe.de/

Frag dann hier nach wenn es Fragen noch zu klären gibt.

von 391 k 🚀
Hmm Sinn der Seite ist es doch nicht, einfach die Leute abzuwimmeln und ihnen Möglichkeiten zu zeigen die Hausaufgaben vom Rechner lösen zu lassen

Sinn dieser Seite ist es Leuten zu helfen bei Sachen wo sie Schwierigkeiten haben. Wenn ein Fragesteller nicht mal äußert wo er Schwierigkeiten hat ist eine Seite hilfreich auf die er immer wieder zur Eigenkontrolle zurückgreifen kann.

Sicher kann ich das auch wie die Seite vorrechnen aber was bringt es. Es ist besser, wenn der Fragesteller sich dann mit den Lösungen auseinandersetzt und Fragen hat wie man z.B. eine Abeitung bestimmt oder Warum als Extremwert etwas spezielles heraus kommt.

0 Daumen

Hi,

f(x) = x3-3x +2

Punktsymmetrie, da ungerade Exponenten (ggf. noch beweisen).

Schnittpunkte:

mit x-Achse: y=0

mit y-Achse: x=0

Extrempunkte:

f´(x)=3x²-3=0

Dann in f´´(x)=6x einsetzen und schauen, ob Minimum oder Maximum.

Wendepunkt:

f``(x)=0   und f´´´(x)≠0

Versuch dies mal mit den Ansätzen selbst zu lösen.

Bei Fragen oder Unklarheiten kannst du dich natürlich melden!

LG

von 3,5 k

Punktsymmetrie zum Ursprung, da ungerade Exponenten (ggf. noch beweisen).

f(x) = x3-3x+2

Danke!

Da habe ich wohl einen imaginären Nullpunkt im Koordinatensystem geschaffen.

0 Daumen
Ok, dann wollen wir mal:

Die ganzrationale Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3-3x+2 = (x-1)^2 \cdot (x+2) \) ist offenbar symmetrisch zum Punkt \((0|2)\), ihrem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, der gleichzeitig ihr einziger Wendepunkt ist. Sie besitzt als Nullpunkte den Punkt \((-2|0)\) und ihren einzigen Tiefpunkt \((1|0)\). Wegen der Symmetrie ist ihr einziger Hochpunkt \((-1|4)\).

Habe ich noch was vergessen?
von

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