Für welchen Wert des Parameters hat die vom Graphen der Funktion und der x-Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt 2?

Question

Aufgabe (Integralrechnung mit Parameter):

Für welchen Wert des Parameters \( a>0(a \in \mathbb{R}) \) hat die vom Graphen der Funktion \( f(x)=a \cdot\left(1-x^{2}\right) \) und der x-Achse eingeschlossene Fläche den Inhalt \( 2 \)?

Ansatz/Problem:

Ich hab mir gedacht, dass man die Stammfunktion von der Ausgangfunktion bildet und dann setzt man fur die Fläche 2 ein und dann setzt man noch die genzen ( -1 und 1) auch n einsetzten. Aber irgendwie funktioniert es nicht weil man noch x hat.

Answer 1

$$\int_{-1}^1 a\cdot(1-x^2) \;dx = 2$$

$$\left[ax - \frac{ax^3}{3}\right]_{-1}^1 = 2$$

$$\frac{4a}{3} = 2$$

$$4a = 6$$

$$a = 1.5$$

Alles klar? Du hast eine Gleichung. Nutze dies aus! ;)

Grüße

Comments

Danke erstmal aber wie kommst du auf 4a/3??

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Einfach die Grenzen einsetzen ;). Du weißt ja...obere Grenze - untere Grenze!

Alright?

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Welche regel verwendest du bei dieser stammfunktion hast du erstmal die klammer aufgelost?

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Das freut mich zu hören ;).

Ja, das habe ich. Und dann jeden Summanden einzeln integriert. Ist am einfachsten, denke ich.

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Ja so habe ich es auch gemaccht aber wenn ic die klammer auslöse kommt a - ax²

Und dann sie stammfunktion: 0,5 a² - ax³ /3

Aber du hast was ganzeres..

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So anders ist das auch nicht. Nur der erste Summand ist falsch. Wie kommst Du da auf den Faktor x²? Das hat hier nichts verloren. Wir haben doch "a" und nichts weiter. Integriere das und da kommt ein x hinzu, also "ax".

;)

Answer 2

Deine Idee ist doch gut. zuerst das Integral:

$$ \int_{-1}^{1}(a-ax^2) dx = 2$$

das lösen wir jetzt auf:

$$ ax-\frac{a}{3}x^3 |_{-1}^{+1} = 2$$

$$(a-\frac{a}{3})-(-a-\frac{a}{3}\cdot (-1)^3) = \frac{2}{3}a+\frac{2}{3}a=\frac{4}{3}a = 2$$

und den Rest schaffst Du schon :)

Comments

Warum verschwindet das x??

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für das x setzt du ja die integrationsgrenzen ein. Aber Unknown hat Dir ja schon geholfen ;)