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a) Aus einem quadratischen Stück Blech der Seitenlänge 16 cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgestanzt, so dass aus dem restlichen Blech eine nach oben offene Blechschatel geborgen werden kann. Wie muss x gewählt werden, damit eine Schachtel mit max. Volumen ensteht?

hier habe ich die Lösung x= 2,67 raus.. So jetzt das Problem und zwar die b)


b) Lösen sie die Aufgabe a) für ein quadratisches Stück Blech mit der Seitenlänge "s".

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V = x·(s - 2·x)^2 = 4·x^3 - 4·s·x^2 + s^2·x

V' = 12·x^2 - 8·s·x + s^2 = 0

x = s/6 (oder x = s/2)

von 391 k 🚀
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Skizze:

Bild Mathematik

Ziel ist ein möglichst hohes Volumen:
HB: V= (16-2x)2 * x --> (256 - 64x + 4x² )*x = 4x³ - 64x² + 256x

V'(x) = 12 x² - 128x + 265 = 0 | :12

x² -   32/3x     + 64/3

pq-Formel :

x1/2 = 32/6 ±√(32/6)² - 64/3   = 2,6   v   8

V''(x) = 24x -128  24*2,6 -128 = -65,5    --> HP    

(NB: A= 16*16 -4x² ) Nebenbedingung unnötig

Die Seitenlänge s steht jetzt repräsentativ für 16 cm Länge, oder 10 cm oder 1000cm.

Wir müssen also eine Allgemeine Lösung finden:
V= (s-2x)² * x --> (s² -4xs + 4x²)*x = 4x³ -4x²s +s²x

V'(x) = 12x² -8xs +s² = 0 Durch das Einsetzen von 16 in s, kämen wir wieder auf die obige Lösung. Das ist also unsere allgemeine Lösung

Mit der pq- Formel kommt man auf x1 s/2 und x2 s/6 als relatives Maximum

V(s/6)= 2/27s³

V''(x)= 24x -8s 

Bei Fragen gerne melden!
Gruß Luis

von 2,0 k

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