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ein aktuelle frage : wieviel mögliche möglichkeiten ( heimrecht ist egal es zähl nur gegen wenn ) gibt es für die champions league viertelfinale auslosung ( 8 Mannschaften )  meine überlegung ist folgende 8! = 40320 / 24 / 4 =630

8! sind die möglichkeiten der reihenfolge der auslosung der vereine

24 : weil es egal ist ob zb. Bayern - Madrid oder Madrid - Bayern

4 weil es gibt 4 paarungen, und es ist egal ob o.g partie die erste paarung oder die letzte

liege ich mit meine überlegung richtig?

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ich glaube so ist richtig :  für die erste paarung ist die wahrscheinlichkeit 8 über 2 = 28 für die zweite 6 über 2 = 15 für die dritte 4 über 2 = 6 und noch 2 über 2 = 1

28+15+6+1= 30

so könnte es gehen : eine mannschaft hat am anfang der auslosung 7 mögliche gegner, nachdem die erste paarung gezogen wurde bleiben noch 6 Mannschaften übrig, das bedeutet das die nächste Mannschaft nur noch 5 mögliche gegner hat, usw.   so komme ich auf 7*5*3*1= 105 möglichkeiten

was haltet ihr davon?

Das ist denke ich richtig. Man kommt auch auf etwas komplizierterem, aber vielleicht anschaulicherem Wege (da man von Paaren ausgeht) zu dem Ergebnis 105:

Für das 1. Paar gibt es (82)=28 \binom{8}{2} = 28 Möglichkeiten, für das 2. Paar (62)=15 \binom{6}{2} = 15, für das 3. (42)=6 \binom{4}{2} = 6 Möglichkeiten und das 4. Paar wird stets durch die ersten drei eindeutig festgelegt. Somit gibt es unter Beachtung der Reihenfolge der Paare 28156=2520= : c28\cdot 15 \cdot 6 = 2520 =: c Möglichkeiten. Jetzt muss man noch berücksichtigen, dass die selbe Belegung der Paare jeweils mehrmals berücksichtigt wurde. Wenn man z.B. die Paare 1-4 in der Reihenfolge

1 2 3 4

gegeben hat, so hat man letztendlich die selbe Konstellation hinsichtlich der Spiele bei der Reihenfolge

4 2 3 1

und allen anderen Permutationen. Diese wurden bis jetzt aber wie gesagt mehrfach berücksichtigtt. Unsere Zahl cc von oben lässt sich auch anders berechnen, nämlich so:

c=Anzahl der Paarungenx×Anordnungen der Paare4! c = \underbrace{\text{Anzahl der Paarungen}}_x \times \underbrace{\text{Anordnungen der Paare}}_{4!}

Daraus erhalten wir

x=c4!=252024=105 x = \frac{c}{4!} = \frac{2520}{24} = 105 .

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Hi,

so jetzt aber, habe das gleiche Ergebnis wie du aus deinem letzten Kommentar. Jedoch einen ähnlichen Ansatz wie du am Anfang gewählt:

Es gibt 8! Möglichkeiten zu ziehen. Da dir egal ist wer Heimrecht hat (also wer jeweils als erstes gezogen wird) müssen wir dies berücksichtigen indem wir durch (2!)4, also durch 16 teilen. Zudem ist dir ja egal welche Paarung in welchem Spiel auftritt. Da es 4 Spiele gibt müssen wir also noch die Unterschiedlichen Kombinationen der Reihenfolge der Spiele außer acht lassen. Dies machen wir indem wir nochmals durch 4! teilen.

Also gibt es: 8!164!=105 Mo¨glichkeiten\frac{8!}{16 \cdot 4!} = 105 \text{ Möglichkeiten} .

Gruß

Avatar von 23 k

Danke für die gute erklärung, bei meine erste überlegung 8! = 40320 / 24 / 4 =630 habe ich leider übersehen das es natürlich 4! sind und nicht 4, aber die die idee mit 7*5*3*1= 105 finde ich auch ganz logisch

Gruß

PS: geraten habe ich nicht :)

Kein Thema. Und ja habe ich dann im nachhinein schon begriffen ;), deswegen der schnelle Edit. Du warst schon zu Beginn sehr nah dran.

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