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G= (40x/(2+0,2x)+10)*0,2-x

Ich bräuchte den Weg um an die Extremstellen zu kommen. Da ich mit Brüchen nicht so gut klarkomme, wäre eine Schrittweise Lösung prima :)

- ausführliche antwort wäre lieb

von

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     f ( x ) := ( 40 x / ( .2 x + 2 ) + 10 ) * 1/5 - x = ( 1a )
     
     = 2 + 8 x / ( .2 x + 2 ) - x  = ( 1b )
    
     = 2 + 40 x / ( x + 10 ) - x   ( 1c )


     Ihr benutzt die Polynomdivision ( PD ) für alle möglichen und unmöglichen Zwecke. Genau hier brauchen wir sie.


       x / ( x + 10 ) = ( x + 10 ) / ( x + 10 ) - 10 / ( x + 10 ) = 1 - 10 / ( x + 10 )    ( 2a )
     
        y = f ( x ) = 42 - 400 / ( x + 10 ) - x   ( 2b )


    Was ist ( 2b ) für ein Typ? Wenn du jetzt sagst

     " Gerade + Hyperbel "

    bist du mir schon auf den Leim gegangen ( Sonst hätte ich ja nicht gefragt. )  Es war meine erste große Entdeckung bei einer Extremwertaufgabe  in dem Konkurrenzportal " Lycos "


     " Gerade + Hyperbel = Hyperbel "   ( 3 )


    An meiner Wiege hat mir das keiner gesungen; nicht mal in der Uni hat man mir das " gelernt " ...
    An deinem Beispiel werde ich das jetzt plausibel machen. Zunächst mal gilt es zu lernen: Die ( beiden Äste ) einer Hyperbel verlaufen Punkt symmetrisch gegen den Schnittpunkt ihrer Asymptoten. Hier hast du


     g1 ( x ) = 42 - x    ( 4a )

   
     eine Parallele zu der ( fallenden ) Winkel Halbierenden so wie


    g2 |  x = ( - 10 )   ( 4b )


    Was dich hier so komisch anguckt: Was du gewohnt bist, sind die ===> gleichseitigen Hyperbeln mit ihrem Öffnungswinkel von 90 ° . Dagegen der Winkel zwischen ( 4ab ) beträgt bloß 45 °
    Bei der Grobskizze ganz rationaler Funktionen musst du immer von Rechts kommen, also in ( 4a ) asymptotisch von ( - °° ) Wegen des negativen Residuums in ( 2b ) haut der Graf auch wieder ab nach ( - °° ) bei Annäherung an den Pol bzw. an Asymptote ( 4b ) von Rechts ( Man muss unterscheiden zwischen Öffnungswinkel 45 und 135 ° )  Der Schnittpunkt von ( 4ab ) ist


    ( x0 | y0 ) = ( - 10 | 52 )    ( 5a )


      Dieses Symmetriezentrum verschieben wir nun in den Ursprung.


     u := x - x0 = x + 10   ( 5b )
  
     x = u - 10   ( 5c )


    ( 5c ) substituieren in ( 2b )


    y = f ( u ) = 52 - 400 / u - u    ( 5d )


    Jetzt noch den y-Wert in den Ursprung verschieben;  vgl. ( 5a )


     v := y - y0 = y - 52   ( 6a )



   Den Verschieber ( 6a ) musst du anwenden auf ( 5d )


    v = v ( u ) =  - 400 / u - u    ( 6b )


    Und? Was hab ich gesagt? Du musst dich im Leben immer frei machen von einem falschen Standpunkt ( oder Standort ) In ( 6b ) ist doch die ungerade Symmetrie zwischen dem linken und dem rechten Ast offensichtlich.
   Es sollte auch weiter kein Problem sein, die Extrema von ( 6b ) zu bestimmen ( die natürlich im u-v-Koordinatensystem nullpunkt-bzw.  spiegelsymmetrisch fallen; das Maximum rechts, das Minimum links. )
  Doch ein Punkt sei noch hervor gehoben. In uv-Darstellung kann eine Hyperbel nur ENTWEDER Extrema haben oder Nullstellen - nie beides. Denn für die Extrema ergibt sich eine quadratische Bedingung; wegen der Symmetrie heißt das aber, rechts nur ein Extremum und links eines.
   Mit einem Extremum hast du aber entweder keine Knoten oder gleich zwei - gespiegelt wären das vier. ( 6b ) stellt aber auch nur eine quadratische Bedingung dar.
   Jetzt noch der Beweis, dass es sich tatsächlich um eine Hyperbel handelt. Wir werden zeigen, dass hier eine ===> homogene quadratische Form vor liegt und damit ein ===> Kegelschnitt.


   
    u ² + u v = ( - 400 )  ( 7 )


   Im Übrigen gilt auch die Umkehrung von  ( 6b ) Jede Hyperbel kannst du auf diese Form bringen a/u + b u ; du musst nur das Zeichenblatt so geschickt drehen, dass eine Asymptote vertikal verläuft.
von
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G(x) = (40x/(2+0,2x)+10)*0,2-x

=  (8x/(2+0,2x)+2)-x

=    8x/(2+0,2x)+2-x    Bruch mit 5 erweitern

          =    40x/(10+x)+2-x

G ' (x) = 400/(x+10)^2 - 1

G ' (x) = 0   ⇔   400/(x+10)^2 - 1 = 0

⇔   400/(x+10)^2   =   1

⇔   400    =    (x+10)^2 

⇔   ±wurzel(400)    =    x+10

⇔   x = -10  + wurzel(400)     oder      x = -10  - wurzel(400) 

G ' ' (x) = - 800 / ( x+10)^3   

also    G ' ' ( -10  + wurzel(400))  < 0   Maximum bei  -10  + wurzel(400)

und       G ' ' ( -10  - wurzel(400))  > 0   Minimum bei  -10  - wurzel(400)


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