Wie hoch ist die Dammkrone? Wie breit ist die Wasserrinne? (Integralrechnung mit E-Funktionen)

Question

Aufgabe Kanalprofil:

Das Querschnittsprofil eines \( 400 \mathrm{~m} \) langen Kanals kann durch die Funktion \( f(x)=2 x e^{-0,25 x^{2}} \) modelliert werden. \( (0 \leq x \leq 5, \quad 1 \mathrm{~LE}=1 \mathrm{~m} \)).

a) Wie hoch ist die Dammkrone? Wie breit ist die Wasserrinne?

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von \( \mathrm{f} \).

c) Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen des Kanals.

d) Der städtische Rasenmäher hat eine maximale Steigfähigkeit von \( 40^{\circ} \). Kann der Hang des Dammes damit bis zur Dammkrone befahren werden?

Answer 1

Für a musst du nur die Extrempunkte bestimmen.

Deren y-Wert ist die ges. Höhe
und die Breite ist das Doppelte vom positiven x-Wert.

Stammfunktion kannst du üeber Substitution   u = - 0,25x^2
wenn du das nicht kennst probiere einfach ein wenig:

Abl. von  e ^{- 0,25x^2} ist   -0,5x * e ^{- 0,25x^2}
Da aber + 2x vor dem e-Term stehen soll, brauchst du noch den Faktor  - 4
und dann hast du es   - 4 * e ^{- 0,25x^2}   hat die Abl   -4 *   -0,5x * e ^{- 0,25x^2}    =  2x * e ^{- 0,25x^2}

Mit f ' ' (x) = 0 rechnest du aus, wo die Steigng am größten ist.