Grenzwert für x + 1/(x+3) für x → -3 ist -∞ und +∞. Wie rechnerisch bestimmen?

Question

ich möchte den Limes über die Grenzwertsätze berechnen für: $$\lim_{x\to -3} \ x+\frac{1}{x+3}$$

Jedoch erreicht man durch Umformungen nicht, dass der Nenner nicht 0 wird.

Der Graph der Funktion:

Plotlux öffnen

f₁(x) = x+1/(x+3)x = -3Zoom: x(-10…6) y(-9…3)

Der Grenzwert für x gegen -3⁺ ist L = +∞, und für x gegen -3^- offensichtlich L = −∞.

Wie komme ich rechnerisch auf  ∞ und -∞?

Nachtrag: Ohne h-Methode?

Comments

Bei einfachen Nullstellen des Nenners gebrochenrationaler Funktionen, die sich nicht rauskürzen lassen, sog. einfachen Polstellen, hast du immer einen Vorzeichenwechsel im Pol.

Answer 1

1/(x + 3)

Wenn du etwas kleineres als -3 einsetzt wird der Nenner negativ.

1/(-(3 + h) + 3) = 1/(- 3 - h + 3) = 1/(- h)

Für h gegen null strebt der Bruch dann gegen minus unendlich.

Comments

Du verwendest die h-Methode. Gibt es noch einen anderen Weg über die Grenzwertsätze?

Aber ich sehe gerade, dass z. B. die Nullfolge lim 1/x = 0 ja nur für x → ∞ gilt, aber nicht x → -3.

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1/(x + 3) Wir setzen einfach mal -3.1 ein

1/(-3.1 + 3) = 1/(-0.1) = - 10

Hier wären jetzt die 0.1 das h. Man kann es mathematisieren wenn man das h rechnerisch einsetzt. Ansonsten schreibt man die Grenzwerte -unendlich und +unendlich einfach so auf, weil man es sieht. (x + 3) hat bei -3 eine (einfache) Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Hier ändert sich das Vorzeichen von Minus auf Plus. Daher Haben wir zuerst Minus unendlich und dann Plus unendlich.

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Ist es legitim zu sagen, dass:

$$\lim_{x\to -3} \ \frac{1}{x+3} = \infty$$

ohne eine Rechnung aufzuzeigen?

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Nein. Zumal das auch so nicht richtig ist weil nicht erkenntlich ist ob x von links oder rechts gegen -3 geht.

lim (x-->-3) 1/(x + 3) = ±∞

So könnte man es notieren. Weil es hier eben 2 Möglichkeiten des Grenzwertes gibt.

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Es gibt 2 Fälle des Grenzwerts

x nähert  sich -3  ( von links ) ist also kleiner -3 : ich schreibe dies
lim x −> -3 ( - )   [ x +  1 / ( x + 3 ) ] =
( x + 3 ) = -3.0001 + 3 = - 0.0001 oder besser eine negative 0 : 0 ( - )

lim x −> -3 ( - )   [ -3 +  1 /  0 ( - ) ] =
1 / 0 ( -) = - ∞
lim x −> -3 ( - )   [ -3  - ∞ ] =  - ∞

der 2.Fall
x nähert  sich -3  ( von rechts ) ist also größer -3 : ich schreibe dies
lim x −> -3 ( + )   [ x +  1 / ( x + 3 ) ]
( x + 3 ) = -2.99999 + 3 = + 0.0001 oder besser eine positive 0 : 0 ( + )
lim x −> -3 ( + )   [ -3 +  1 /  0 ( + ) ] =
1 / 0 ( + ) = + ∞
lim x −> -3 ( + )   [ -3  + ∞ ] =  + ∞

Vergleiche deine Grafik.