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Die Aufgabe lautet folgdermassen:

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe.

a) Es existiert eine orthogonale 2 × 2 Matrix A mit detA =-1.
b) Seien v(1), v(2), v(3), v(4) Vektoren im ℝ4, so dass ⟨v(i), v(j)⟩ = δij für 1 ≤ i, j ≤ 4 wobei ⟨•,•⟩ das Euklidische Skalarprodukt bezeichnet. Dann ist v(1), v(2), v(3), v(4) eine Basis des ℝ4.

Bei a) habe ich ausprobiert, dass 


Bild Mathematik stimmt dieses Beispiel und wenn ja, kann ich das als Begründung nehmen oder gibt es einen algebraischen Beweis dazu?

Bei b) sehe ich die Begründung nicht gerade, könnte jemand helfen?
von

1 Antwort

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oder gibt es einen algebraischen Beweis dazu?
Kein Beweis nötig; dass dieses ein korrektes Beispiel ist, hast du gezeigt.

Es ist dim R^4 = 4 und es sind 4 Vektoren. 
Wenn sie lin. unabh. sind, bilden sie eine Basis.

lin. unabh. kann man so sehen:

sei a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0
eine Lin.komb. des Nullvektros.
Dann ist zu zeigen:  alle ai müssen = 0 sein.

Betrachte dazu
<   a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4   ,  a1 >  Das ist = 0 ,
weil Skalarprod. mit dem Nullvektor immer 0 ist
weg der Axiome für das Skalarprod. ist das aber
a1*<  v1,v1> + a2*<v2,v1> + a3<v3,v1> + a4<v4 a1 >  = 0
Da die Skalarprodukte alle 0 und das erste 1 ist, gilt
a1 * 1 = 0    also a1=0

wenn man statt a1 das Skalarprod. mit a2 nimmt, sieht man  a2=0 etc.
Also sind alle ai = 0 und damit die 4 Vektoren lin. unabh.


von 228 k 🚀

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

ich habe alles verstanden, ausser wie man von  

<   a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4   ,  a1 >

auf

a1*<  v1,v1> + a2*<v2,v1> + a3<v3,v1> + a4<v4, a1 > 

kommt.

Ich habe im Internet nachgeschaut, und denke diese beiden Theoreme werden wohl die sein, die du genutzt hast, Bild Mathematik

jedoch komme ich, wenn ich es versuche auf a1*<  v1,a1> + a2*<v2,a1> + a3<v3,a1> + a4<v4, a1 >, d.h. ich habe in den ersten 3 skalarprodukten a1 anstelle von v1 wie du. Kannt du das eventuell zeigen?

Ich hatte mich vertippt, es muss natürlich

<   a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4   ,  v1 >

heißen, denn das a1 ist ja eine Zahl und mit der kann man

gar kein Skalarprodukt bilden.

Dann entsteht aber wirklich mit den einschlägigen Gesetzen

a1*<  v1,v1> + a2*<v2,v1> + a3<v3,v1> + a4<v4, a1 > 

Ich glaube das nennt sich Linearität des Skalarproduktes.

In diesem Fall müsste doch der letzte Term a4<v4, v1 >  sein, nicht?

und woher weiss ich, dass z.b. der Zweite Term a2*<v2,v1> = 0 ist?

In diesem Fall müsste doch der letzte Term a4<v4, v1 >  sein, nicht? 

Genau, da war schon wieder ein Tippfehler.

und woher weiss ich, dass z.b. der Zweite Term a2*<v2,v1> = 0 ist?


weil es in der Aufgabe hieß   ⟨v(i), v(j)⟩ = δij denn das bedeutet

ja 1 für i = j und 0 sonst, also in Worten:

zwei verschiedene Vektoren von den vi haben das Skalarprodukt 0

und zwei gleiche das Skalarprodukt 1.

Super, wenigstens weiss ich jetzt, dass ich die axiome richtig anwenden kann, danke :)

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