Gleichmäßige Konvergenz von fn(x)=x+1/n

Question

Hallo..

Ich bin mir bei folgender Aufgabe nicht ganz sicher:

f_n (x)=x+1/n  x∈R⁺. Dann ist zwar (f_n) aber weder ((1/n)*f_n) noch (f_n²) gleichmäßig auf R⁺ konvergent.

Di gleichmäßige Konvergenz von fn(x) zu zeigen ist jetzt kein großes Problem.

Grenzfunktion: f(x) = x

für gleichmäßige Konvergenz muss ||fn(x) - f(x)||_oo<ε sein..

||fn(x) - f(x)||_oo=||x+1/n-x||_oo=||1/n||_oo →0 für n→∞ ⇒fn(x) ist gleichmäßig konvergent..

nun zu (1/n)*fn(x) = x/n+1/n²

die Grenzfunktion müsste ja 0 sein..

und ||x/n+1/n² ||_oo geht für n gegen unendlich ja auch gegen 0. Aber nach Aufgabenstellung konvergiert die Folge ja nicht gleichmäßig. Meine Argumentation wäre nun.. Da der Definitionsbereich ein unbeschränktes offenes Intervall ist kann ich ja für jedes n ein noch größeres x wählen, sodass ||x/n+1/n² ||_oo > ε ist..

Danke schonmal

Answer 1

Ist doch alles ok.

Es gibt also kein n, das für alle x

gültig wäre, also nicht gleichmäßig.