Kombination aus Kombinationen

Question

das Problem:

gegeben:

drei Werte, 1,2,3

gesucht:

alle möglichen Kombinationen, wobei:

- Kombinationen aus Kombinationen möglich sind, in jeder Kombination darf jeder der drei Werte (1,2,3) genau einmal auftreten (oder gar nicht)

- am Ende soll eine Regel gefunden werden, die für jede Kombination eine eindeutige Ganzzahl ergibt (d.h. jede Ganzzahl gibt es nur einmal).

- die Reihenfolge ist beliebig (1, 2) = (2, 1)

Beispiel (das Komma trennt die Kombinationen):

1. Kombination: 1

2. Kombination: 2

3. Kombination: 1, 2, 12

4. Kombination: 123, 1, 12, 31

ich hoffe, ich habe es verständlich formuliert

Danke:)

Comments

Jeder der drei Werte darf nur einmal auftreten ??

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Hi, hier mal die Potenzmenge \(P\) von \(\left\{1,2,3\right\}\):
$$ \left\{ \left\{ \right\}, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 3 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 1,3 \right\}, \left\{ 2,3 \right\}, \left\{ 1,2,3 \right\} \right\} $$ Dies müsste dem entsprechen, was du als Kombination bezeichnest. Nun sollen die Elemente von \(P\) offenbar wieder miteinander kombiniert werden, aber so, dass die Elemente dieser Kombination nicht mehrmals dieselbe Ziffer enthalten, richtig?

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Darf die 3 allein nicht auftreten? 

Und was ist mit 23? 

1,2,12 kommen zwei oder sogar dreimal vor.

Verwendest du Kombination im mathematischen Sinn? https://de.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)

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Jeder Wert darf einmal auftreten. Die 3 darf auch alleine auftreten. In jeder Kombination darf jeder der drei Werte einmal auftreten oder auch nicht. Es sind beliebige Kombinationen von Kombinationen möglich. Die Beispiele sind Beispiele. Ich habe über 50 Kombinationen mit Hand erstellt, bevor ich aufgegeben habe.

Weitere Beispiele (das macht es vielleicht einfacher) das Komma trennt wieder Kombinationen, die zusammengenommen wieder eine Kombination ergeben.

5. Kombination: 1, 2, 3, 12, 23, 31, 123, 1 2 3, 123 12, 12 123

6. Kombination: 13, 123

7. ist redundant: 13, 132 (gleich 6.)

Also im Grunde sind das alle möglichen "einzelnen" Kombinationen und alle Kombinationen aus den einzelnen Kobinationen.

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Ich bin kein Mathematiker.

Ich denke,

für die "einzelne" Kombination ist es schon eine Kombination im mathematischen Sinn, d.h. die Reihenfolge ist egal, jedes Element darf genau einmal auftreten oder auch nicht.

Die "einzelnen" Kombinationen können wieder zu neuen Kombinationen zusammengefasst werden. In dieser neuen Kombination tritt jede mögliche "einzelne" Kombination wiederum genau einmal auf, oder auch nicht.

Ich denke, es ist eine verschachtelte Kombination. Eindeutige Kombinationen werden wieder zu eindeutigen Kombinationen zusammengestellt.

Ich hoffe, es ist jetzt klarer geworden:)

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{{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ist das, was ich mit "einzelnen" Kombinationen bezeichne. Jede dieser sieben Kombinationen (die Leere Menge lasse ich weg) ist jetzt wieder ein neues Element, das beliebig mit den anderen Elementen kombiniert werden kann.

Dabei ist es auch möglich, neue Kombinationen wiederum zu neuen Kombinationen zusammenzustellen. Und das beliebig, solange es eindeutige neue Kombinationen ergibt.

Also z.B.:

0. {{1}, {2}, {1,2}, {{1},{2},{1,2}}}

wäre eine Kombination aus den vier Kombinationen:

1. {1}

2. {2}

3. {1,2}

4. {{1},{2},{1,2}}

wobei 4. wiederum eine Kombination aus 1. bis 3. ist.

{{{1},{2},{1,2}},  {2}, {1,2}}

wäre eine neue Kombination, da sie sich von 0. unterscheidet, aber:

{{1}, {{1},{2},{1,2}},  {2}, {1,2}}

nicht, da sie gleich 0. ist (nur die Reihenfolge der Elemente ist unterschiedlich, es sind aber genau die gleichen Elemente, die wiederum die gleichen "einzelnen" Elemente enthalten)

Answer 1

{{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ist das, was ich mit "einzelnen" Kombinationen bezeichne. Jede dieser sieben Kombinationen (die Leere Menge lasse ich weg) ist jetzt wieder ein neues Element, das beliebig mit den anderen Elementen kombiniert werden kann.

{{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} 

 ist die Menge aller Teilmengen von {1,2,3}.

Von denen gibt es 2^3 .

Weil du die leere Menge weglässt, gibt es 2^3 - 1 = 7 solche Mengen. 

Dabei ist es auch möglich, neue Kombinationen wiederum zu neuen Kombinationen zusammenzustellen. Und das beliebig, solange es eindeutige neue Kombinationen ergibt.

HIer willst du offenbar die Menge aller Teilmengen einer 7-elementigen Menge zählen.

Davon gibt es 2^7.

Zähle wiederum 1 ab (leere Menge).

Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, suchst du die Zahl 2^7 - 1 = 127

Comments

Vielen Dank,

jetzt weiss ich schon mal die Anzahl aller möglichen Kombinationen.

Jetzt wäre es noch super, wenn es eine (ein-) eindeutige Abbildungsvorschrift (Regel) für die Kombinationen gibt - einen Zähler ("ID") der der Kombination entspricht . Z.B.:

ID   = Kombination:

001 = {1}

002 = {2}

003 = {3}

004 = {1,2}

005 = {1,3}

006 = {2,3}

007 = {1,2,3}

008 = {1} , {2}

009 = {1} , {3}

....

Wenn ich jetzt eine ID von "007" vorgebe, dann sollte daraus die Kombination berechenbar sein - also z.B. {1,2,3}. Und aus der Kombination von {1} , {3} sollte die ID berechenbar sein, also (z.B.) die ID "009".

Ist so etwas herleitbar, kann man so eine Regel angeben? Ich habe angefangen, händisch eine Tabelle zu erstellen, aber bei über 50 Wertepaaren aufgegeben. Je mehr Kombinationen wieder kombiniert werden, desto unübersichtlich wird es. Und die Gefahr, Kombinationen redundant zu definieren und dafür andere Kombinationen zu vergessen, steigt.

Eigentlich müsste man ja nur die 7 Kombinationen z.B. durchnummerieren und dadurch sieben neue Werte erhalten ({1',2',3',4',5',6',7'}) und das gleiche damit machen wie mit den ursprünglichen drei Werten ({1,2,3}), oder? Jetzt muss ich nur noch eine einfache Regel finden...

Das es insgesamt 127 mögliche Kombinationen gibt, hilft mir schon. Wenn jemand eine Regel angeben kann, wäre das perfekt:)

Nochmals danke:)

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Nenne deine Mengen hier:{,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} mal 1,2,3,4,5,6,7

Zähle nun die ein-, zwei-, drei- ...sieben-elementigen Teilmengen systematisch auf:

1

2

3

4

5

6

7

12

13

14

15

16

17

23

24

25

26

27

34

usw. [Für Zahlen nebeneinander gilt: Linke ist kleiner als die Rechte. So vermeidest du, dass du eine Menge doppelt hinschreibst]

1234567

Danach kannst du die Zahlen wieder durch deine Mengen ersetzen.

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Vielen Dank Lu,

die kleineren Zahlen links zu schreiben hilft ungemein bei Erstellung der vollständigen Liste. Ich habe eine gute halbe Stunde gebraucht und es sind wirklich 127 Kombinationen:)

Wie kann ich die Frage auf beantwortet setzen?

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Bitte. Gern geschehen. Freut mich, dass es geklappt hat.

Beantworten setzen musst du nicht mehr, da ich ja eine Antwort geschrieben habe. Wenn du willst, kannst du noch den Stern für die "beste Antwort" vergeben und vor dem Abschicken eines weiteren Kommentars das Feld bei "Ich möchte eine E-Mail erhalten, wenn jemand nach mir kommentiert" deaktivieren.