Gegeben sei die Funktion mit Absatzmenge, Werbebudget und Absatzpreis sowie die Kostenfunktion. Wie hoch ist der Gewinn?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( x=400+2 \sqrt{W}-4 p \) mit Absatzmenge \( x \), Werbebudget \( W \) und Absatzpreis \( p \) sowie die Kostenfunktion \( K(x)=10 x+3500 \).

a) Ermitteln Sie das gewinnmaximale Werbebudget, den gewinnmaximalen Absatzpreis und die dazugehörige Absatzmenge. Wie hoch ist der Gewinn?

Ansatz/Problem:

Nun habe ich die Frage was ich bei w= p²-10² falsch gemacht habe und woher weiß ich dass ich zuerst nach P auflösen soll und das in dG/dW einsetzen muss. Wenn ich erst dG/dW  nach w auflöse kommen sehr ungerade zahlen heraus. Vielleicht liegt es auch daran, wie ich mein W gewählt habe.

Answer 1

was ich bei w= p²-10² falsch gemacht habe

wenn du wurzel(w) = p-10 quadrierst gibt das

                       w = (p-10)^2 = p^2 - 20p + 100  

Comments

Ja gerade ist mir das auch aufgefallen :/  Aber vielen Dank.

Answer 2

x = 400 + 2·√w - 4·p --> p = - x/4 + √w/2 + 100

G(x, w) = x·p - K(x) - w = x·(- x/4 + √w/2 + 100) - (10·x + 3500) - w = - x^2/4 + √w·x/2 + 90·x - w - 3500

dG/dx = - x/2 + √w/2 + 90 = 0

dG/dw = x/(4·√w) - 1 = 0

Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten: x = 240 ME ∧ w = 3600 GE.

p = - 240/4 + √3600/2 + 100 = 70 GE

G = - 240^2/4 + √3600·240/2 + 90·240 - 3600 - 3500 = 7300 GE

Comments

dG/dx = - x/2 + √w/2 + 90 = 0

dG/dw = x/(4·√w) - 1 = 0

Es wäre hier fast egal wie du das Gleichungssystem löst. Da die Wurzel stört löse ich das Zweite nach Wurzel w auf und ersetze das dann in der ersten entsprechend. Es sollte aber egal sein wie du rechnest. Es sollte immer das richtige heraus kommen solange du richtig rechnest.