Kreuzprodukt herleiten - Ansatz richtig?

Question

Hi Leute.

Ich will das Kreuzprodukt herleiten. Das Ergebnis dessen ist ja ein Vektor, der orthogonal zu den beiden anderen vektoren ist. orthogonalität kann man doch mit a skalar b prüfen, wenn ergebnis 0 dann sind die beiden vektoren doch orthogonal, oder? 

Daraus folgt mein Ansatz: Vektoren a (a1, b1, c1), b (a2, b2, c2), n (x, y, z):

a skalar n = 0
b skalar n = 0

(gleichungssystem)

stimmt die überlegung? Ich bekomme es jedenfalls nicht hin, das ganze aufzulösen.. habe erst einmal versucht das ganze ausmultipliziert so umzustellen, das zwei der variablen mit der dritten anderen beschrieben werden können, das ganze dann in eine gleichung eingesetzt. Ausmultipliziert ergibt das eine ewwig lange gleichung.. ganz viele summanden gemischt mit den faktoren a1, b1, c1, a2, b2, c2 und y.. aber eine andere lösung als 0, was ja nicht geht, bekomme ich nicht raus.. für y müsste ich ja auf a3b1-a1b3 kommen..

könnte jemand helfen?

danke :)

Comments

Der Ansatz ist richtig und liefert ein unterbestimmtes, lineares Gleichungssystem.

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und wie bekomme ich es hin, das es bestimmt ist? Welche bedingungen könnte ich mir noch holen?

Answer 1

Vektor u = [a, b, c]

Vektor v = [d, e, f]

Normalenvektor n = [x, y, z]

[a, b, c]·[x, y, z] = 0
a·x + b·y + c·z = 0

[d, e, f]·[x, y, z] = 0
d·x + e·y + f·z = 0

Das sind jetzt nur 2 Bedingungen. Nehmen wir als dritte Bedingung mal x = 1 und Löse das LGS, dann erhalte ich

x = 1 ∧ y = (a·f - c·d)/(c·e - b·f) ∧ z = (a·e - b·d)/(b·f - c·e)

Da wir diesen Vektor sicher mit einem Skalar multiplizieren dürfen wäre es geschickt mit (b·f - c·e) durchzu multiplizieren.

x = (b·f - c·e) ∧ y = (c·d - a·f) ∧ z = (a·e - b·d)

Das Ganze als Vektor geschrieben

[b·f - c·e, c·d - a·f, a·e - b·d]

Jetzt definiere ich nur noch das ich das das Kreuzprodukt nennen möchte.

Comments

ich verstehe nicht ganz wieso du einfach x = 1 setzt..

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3 Unbekannte mit 2 Gleichungen ist unterbestimmt und man hat einen Freiheitsgrad. Ich weiß ja auch das sich beliebig viele Vektoren eignen die alle nur in der Länge verschieden sind. Also nehme ich einfach einen wo x = 1 ist. Das ist meine dritte Bedingung, damit ich eine Eindeutige Lösung bekomme. Ich muß aber wissen, dass ich nachher nicht auf x = 1 fixiert bin sondern das ich ein beliebiges Vielfaches nehmen darf.