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ein Physikstudent gab mir gestern folgende Aufgabe:

Bestimme folgendes Integral und beweise deine Lösung mit vollständiger Induktion:

$$ { I }_{ n } = \int_{0}^{\infty} (x^n \cdot { e }^{ -x } ) dx = ??? $$

Nun, meine Idee war erstmal, irgendwie mit der partiellen Integration zu arbeiten und dabei zu beachten, dass für beliebige n gilt:

 $$ \lim_{x\to\infty} (x^n * e^{-x}) = 0$$

Ok, nun wende ich die partielle Integration an:

f(x) = x^n; g'(x) = e^{-x}

$$ { I }_{ n } = \int_{0}^{\infty} (x^n \cdot { e }^{ -x } ) dx = -x^ne^{-x} -\int_{0}^{\infty}nx^{n-1} \cdot ({-e}^{-x}) dx$$

So viel zu meinem Ansatz. Nun hatte ich die Idee, das mal für beliebige n auszuprobieren:

$$ { I }_{ 2 } = \int_{0}^{\infty} (x^2 \cdot { e }^{ -x } ) dx = -x^2e^{-x} -\int_{0}^{\infty}2x \cdot ({-e}^{-x}) dx = -x^2e^{-x} -(2x \cdot e^{-x} -2e^{-x}) = e^{-x} \cdot (-x^2 -2x +2) = ?$$

Nun komme ich irgendwie nicht weiter...ich habe da irgendwo nen Fehler. Ich vermute, dass ich die Integrationsgrenzen vergessen hab. Ich weiß nur nicht, wie ich die bei der partiellen Integration da einsetzen soll und so...könnt ihr mit bitte, bitte helfen? Ich verzweifel sonst an dieser Aufgabe! Laut Internet solle man auf n! kommen, nur komme ich da nicht drauf. Logischerweise müsste ja bei dem von mir falsch berechneten Integral 2 raus kommen...nur komme ich da nicht drauf :(

Ich kann ja auch nichts beweisen, wenn ich nicht mal selbst auf dieses n! komme.... :/

Vielen lieben Dank im Voraus!

LG ShD

von 1,7 k

Hast du die Behauptung schon von WolframAlpha checken lassen?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28x%5En+*+e%5E%28-x%29%29+dx+from+0+to+infinity

Da müsstest du wohl das grosse Gamma etwas genauer ansehen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Γ%281%2Bn%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

danke :)

Γ(n+1) = n!.....aber das große Gamma an sich kannte ich so noch nicht. Ich bin erst in der zehnten Klasse.

2 Antworten

+1 Daumen

du hast doch

bei n=2 schon eine Stammfunktion und wenn du jetzt die Grenzen einsetzt und den GW machst

kommt 2  raus.

Und bei n=3 gibt es 6 und bei n=4 ist es 24

Da ahnt man ja schon n!

Und beweisen mit vollst. Induktion ist auch nicht so wild.

Mit deinem Ansatz hattest du doch schon mit z statt unendlich:


In = [ -x^n * e -x  ] o z   -  Integral von o bis z über n*x n-1 *-e -x  dx

= -z^n * e -z  -  0      + n * Integral von o bis z über x n-1 *e -x  dx

Und jetzt der GW für z gegen unendlich gibt 0  +  n* In-1  ist wegen Ind.annahme = n*(n-1)!

also gleich n!  



von 228 k 🚀
+1 Daumen

Mach das mal für n = 0 bis 4 einfach von hand. du solltest etwas erkennen. diese annahme sollst du dann mittels vollständiger induktion nachweisen.

von 385 k 🚀

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