0 Daumen
453 Aufrufe
f(x)=∑cos(nx)/2^nMultiplizieren Sie f(x) mit 5-4cos(x) und zeigen Sie durch Umformung dassf(x)=(2cos(x)-1)/(5-4cos(x))..
Weiß jemand wie man die Reihe so umformen kann dass die geschlossene Form rauskommt??
Bild Mathematik

Danke schonmal
Grüße
von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hi,
benutze das gilt
$$  cos(nx) = \frac{1}{2} \left( e^{inx} + e^{-inx}  \right) $$
Jetzt einsetzten ergibt
$$ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{ e^{inx} + e^{-inx} }{2^n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{ix}}{2} \right)^n + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{-ix}}{2} \right)^n $$
Mit der Formel für die geometrische Reihe folgt
$$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{ix}}{2} \right)^n = \frac{e^{ix}}{2 - e^{ix}}  $$ und ebenso
$$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{e^{-ix}}{2} \right)^n = \frac{e^{-ix}}{2 - e^{-ix}}  $$
Das wieder eingesetzt und ausmultipliziert ergibt das Ergebnis.

von 33 k

Bevor man die Summen auseinanderzieht, sollte man sich noch überlegen, ob man das überhaupt darf. Dazu sollte man für die zu untersuchende Summe eine konvergente Majorante suchen, was nicht schwierig ist, weil ja \(  |cos(nx) \le 1| \) gilt.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community