Sei (an)n∈N \left( a _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } (an)n∈N eine beschränkte Folge und (bn)n∈N \left( b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } (bn)n∈N eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann auch (an⋅bn)n∈N \left( a _ { n } \cdot b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } (an⋅bn)n∈N eine Nullfolge ist.
Da {an}\{a_n\}{an} beschränkt ist, existiert ein K>0K>0K>0, so dass ∣an∣<K\vert a_n\vert< K∣an∣<K für alle n∈Nn\in\mathbb Nn∈N ist. Sei ε>0\varepsilon>0ε>0 beliebig vorgegeben. Da {bn}\{b_n\}{bn} eine Nullfolge ist, existiert ein N∈NN\in\mathbb NN∈N, so dass ∣bn∣<εK\vert b_n\vert<\frac\varepsilon K∣bn∣<Kε für alle n>Nn>Nn>N gilt. Es folgt∣an⋅bn∣=∣an∣⋅∣bn∣<K⋅εK=ε fu¨r alle n>N.\vert a_n\cdot b_n\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert< K\cdot\frac\varepsilon K=\varepsilon\text{ für alle }n>N.∣an⋅bn∣=∣an∣⋅∣bn∣<K⋅Kε=ε fu¨r alle n>N.Das bedeutet, dass auch die Folge {an⋅bn}\{a_n\cdot b_n\}{an⋅bn} eine Nullfolge ist.
Für was steht denn das K?
KKK ist lediglich die Bezeichnung für eine reelle Zahl, die die Eigenschaft hat größer zu sein als jedes ∣an∣\vert a_n\vert∣an∣. Ansonsten hat das keine weitere Bedeutung. Du könntest diese Zahl auch MMM oder CCC usw. nennen.
Hi, wie kommst du von der Tatsache, dass| an • bn | = |an| •|bn| < ε darauf, dass dies auf eine Nullfolge deutet?
gibt es einen Satz, eine Definition o.ä. , der dies dann unmittelbar feststellen lässt
okay |bn| < ε wegen der definition aber warum ist bn auch kleiner als epsilon/K ?
ich weiss auch nicht warum ist bn auch kleiner als epsilon/K ?
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