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Sei (an)nN \left( a _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } eine beschränkte Folge und (bn)nN \left( b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann auch (anbn)nN \left( a _ { n } \cdot b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } eine Nullfolge ist.

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Da {an}\{a_n\} beschränkt ist, existiert ein K>0K>0, so dass an<K\vert a_n\vert< K für alle nNn\in\mathbb N ist. Sei ε>0\varepsilon>0 beliebig vorgegeben. Da {bn}\{b_n\} eine Nullfolge ist, existiert ein NNN\in\mathbb N, so dass bn<εK\vert b_n\vert<\frac\varepsilon K für alle n>Nn>N gilt. Es folgtanbn=anbn<KεK=ε fu¨r alle n>N.\vert a_n\cdot b_n\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert< K\cdot\frac\varepsilon K=\varepsilon\text{ für alle }n>N.Das bedeutet, dass auch die Folge {anbn}\{a_n\cdot b_n\} eine Nullfolge ist.

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Für was steht denn das K?

KK ist lediglich die Bezeichnung für eine reelle Zahl, die die Eigenschaft hat größer zu sein als jedes an\vert a_n\vert. Ansonsten hat das keine weitere Bedeutung. Du könntest diese Zahl auch MM oder CC usw. nennen.

Hi,  wie kommst du von der Tatsache, dass

| an • bn | = |an| •|bn| < ε     

darauf, dass dies auf eine Nullfolge deutet?

gibt es einen Satz, eine Definition o.ä. , der dies dann unmittelbar feststellen lässt

Das folgt nun unmittelbar aus der Definition für Grenzwerte von Folgen.
Mit cn=anbnc_n=a_n\cdot b_n und g=0g=0 gilt wie oben gezeigtcng=anbn0=anbn<ε.\vert c_n-g\vert=\vert a_n\cdot b_n -0\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert<\varepsilon.Daher ist g=0g=0 Grenzwert der Folge {cn}={anbn}\{c_n\}=\{a_n\cdot b_n\}.

okay |bn| < ε wegen der definition aber warum ist bn auch kleiner als epsilon/K ?

ich weiss auch nicht warum ist bn auch kleiner als epsilon/K ?


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