Differenzenquotient von ln(x) / x

Question

ich stecke gerade am Differenzenquotienten fest.

Laut der Aufgabe, soll ich die Ableitung von f(x) = ln (x) / x berechnen

Dies habe ich mit dem Differenzenquotienten versucht, leider ohne Erfolg.

Was muss ich bei dieser Aufgabe beachten, um erfolgreich die Ableitung mit ln(x) zu berechnen?

Ich weiß zurzeit nur, dass die Ableitung von ln (x) = 1/x ist.

Answer 1

Hi,

hier kann man beispielsweise so vorgehen: (Beachte Definitionsbereich ist: $D_f = (0, \infty)$

$$\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{\frac{\ln(x+h)}{x+h}-\frac{\ln(x)}{x}}{h} \\ = \lim \limits_{h \to 0} \frac{x\ln(x+h)-(x+h)\ln(x)}{(x+h)\cdot x \cdot h} \\ = \lim \limits_{h \to 0} \frac{ x( \ln(x+h) - \ln(x) ) - h\ln(x)}{(x+h) \cdot x \cdot h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{x \ln \left( \frac{x+h}{x} \right)-h\ln(x)}{(x+h) \cdot x \cdot h}$$

Jetzt kommt das Interessante: (Substitution: $h = \frac{1}{n}$)

$$= \lim \limits_{h \to 0} \frac{ \ln \left( 1 + \frac{h}{x} \right)}{(x+h) \cdot h} - \frac{\ln(x)}{(x+h) \cdot x}$$

$$= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n \ln \left(1 + \frac{x^{-1}}{n} \right)}{x+\frac{1}{n}} - \frac{\ln(x)}{x^2}$$

$$= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{ \ln \left( \left(1+\frac{x^{-1}}{n} \right)^n \right)}{x+\frac{1}{n}} - \frac{\ln(x)}{x^2}$$

$$= \frac{ \ln( \exp(x^{-1}) )}{x} - \frac{\ln(x)}{x^2}$$

$$= \frac{1}{x^2} - \frac{\ln(x)}{x^2} = \frac{1- \ln(x)}{x^2}$$

Ein Hoch auf die Ableitungsregeln ;). Ein Glück, dass es sie gibt.

Gruß