Differentialgleichung xy'=y*(lny-lnx) mit substituieren lösen.

Question

xy'=y*(lny-lnx)  so muss diese DGL 1 . Ordnung mittels Substitution lösen :)  Mfg

Comments

Versuch mal \(z=\ln y-\ln x\).

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Ich habe echt keinen blassen Schimmer von diff. Gleichungen bin schon mommentan am verzweifeln, keine Ahnung was es mit diesem y' auf sich hat und z. Mein Kopf dreht sich.

:/

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\(x\) ist eine Variable und du suchst eine Funktion \(y\), die die von dir genannte Gleichung erfüllt. Dabei bezeichnet \(y'\) die Ableitung von \(y\).

Die Substitution \(z = \ln y - \ln x\) ist eine kürzere Schreibweise für \(z(x) = \ln (y(x)) - \ln x\). Durch eine solche Substitution hofft man dann eine neue Differentialgleichung für \(z\) zu finden, die sich leichter lösen lässt.

Wenn du mit dem gesamten Thema gar nicht klarkommst, schau dir erst mal alles in einem Lehrbuch oder einer Mitschrift genau an, versuche die Dinge zu verstehen und stelle konkrete Fragen zu Einzelheiten, bevor du dich an Aufgaben wagst.

Answer 1

In ganz langsamen Einzelschritten:

$$ xy'=y \cdot (\ln y-\ln x) $$
$$ z(x)=\ln (y(x)) -\ln x $$
$$ \frac{d \, z(x)}{d \, x}=\frac{d \, \ln (y(x))}{d \, x}-\frac{d \, \ln x}{d \, x} $$
$$ \frac{d \, z(x)}{d \, x}=\frac {1}{y(x)} \cdot \frac{d \,  y(x)}{d \, x}-\frac{1}{ x} $$
anders geschrieben:
$$ z'=\frac {y'}{y} -\frac{1}{ x} $$
aufgelöst nach y'/y:
$$ z'+\frac{1}{ x}=\frac {y'}{y}  $$
einsetzen in Anfangsgleichung:
$$ xy'=y \cdot (\ln y-\ln x) $$
$$ xy'=y \cdot z $$
$$ x \cdot \, \frac{y'}{y} \,= z $$
$$ x \cdot \, \left( z'+\frac{1}{ x}   \right) \,= z $$

...

Answer 2

Hallo

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